Polynomring/Charakteristik p/Differentialoperatoren/Taylor-Reihe/Unitär/Bemerkung

Die mehrdimensionale Taylor-Formel (bis zur Ordnung ${}k$) hat die Form (siehe Fakt)

$f(P+v)\sim \sum _{\vert {\,\alpha \,}\vert \leq k}{\frac {\partial ^{\alpha }(f)}{\alpha !}}\cdot v^{\alpha }\,.$

Dabei ist ${}f$ eine hinreichend oft differenzierbare Funktion in einer Umgebung eines Punktes ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$, ${}v$ repräsentiert einen von ${}P$ ausgehenden Vektor und ${}\sim$ bedeutet, dass der Fehlerterm in einem gewissen Sinne klein ist. Wenn ${}f$ ein Polynom über einem beliebigen Körper ist, so gilt diese Beziehung nach wie vor (bei ${}k$ hinreichend groß handelt es sich um eine Gleichung), und zwar im Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n},V_{1},\ldots ,V_{n}]$, und diese Beziehung lässt sich direkt algebraisch beweisen. Beispielsweise ist für ${}f=X^{2}+XY+Y^{3}$

${}{\begin{aligned}(X+U)^{2}+(X+U)(Y+V)+(Y+V)^{3}&=X^{2}+2XU+U^{2}+XY+XV+UY+UV+Y^{3}+3YV^{2}+3Y^{2}V+V^{3}\\&=X^{2}+XY+Y^{3}+{\left(2X+Y\right)}U+{\left(X+3Y^{2}\right)}V+UV+U^{2}+3YV^{2}+V^{3}.\end{aligned}}$

Die Koeffizientenfunktion vor ${}U^{2}$, also die konstante Funktion ${}1$, kann man als ${}\partial _{X}(f)/2!$ erhalten. Da die Gleichung aber algebraisch ist, gilt sie in jeder Charakteristik. In der Tat kann man den Ausdrücken ${}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}(f)$ auch in positiver Charakteristik einen wohldefinierten Sinn zuordnen, nämlich eben als Koeffizientenfunktion zu ${}V^{\alpha }$ in der Taylor-Entwicklung. Zur Berechnung kann man dabei so vorgehen, dass man „normal“ vollständig ableitet und die vorgezogenen Exponenten erstmal in ${}\mathbb {Z}$ belässt, dann mit ${}\alpha !$ kürzt (das Ergebnis bleibt in ${}\mathbb {Z}$) und erst dann diese Zahl in ${}K$ interpretiert.

Über einem Körper der Charakteristik ${}p$ gibt es also auch die Differentialoperatoren ${}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$. Insbesondere ist

${}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}(X^{\alpha })=1\,.$

Diese Operatoren sind aber nicht, wie in Charakteristik ${}0$, als eine Hintereinanderschaltung von partiellen Ableitungen realisierbar. Der Ring aller Differentialoperatoren ist in positiver Charakteristik nicht endlich erzeugt.