Polynomring/Differentialoperatoren/Offene Teilmenge bzw. Nenneraufnahme/Bemerkung

Einen Differentialoperator auf ${}K^{n}$ bzw. auf ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ kann man auf jede offene Menge ${}U\subseteq K^{n}$ einschränken. Er ist dann definiert auf der entsprechenden Funktionsklasse auf ${}U$. Dies gilt auch im algebraischen Kontext.

Die partiellen Ableitungen ${}\partial _{i}$ sind lokal in dem Sinne, dass ${}(\partial _{i}(f))(P)$ nur von einer offenen Umgebung des Punktes ${}P$ abhängt und ${}f$ auch nur auf einer solchen Umgebung definiert sein muss. Insbesondere ist ${}\partial _{i}{\left({\frac {f}{g}}\right)}$ für rationale Funktionen (also ${}f,g$ Polynome mit $g\neq 0$) wohldefiniert, und ergibt wieder eine rationale Funktion, die außerhalb der Nullstellenmenge von ${}g$ definiert ist. Dies überträgt sich auf alle Differentialoperatoren. Insbesondere führt ein Differentialoperator ${}E$ auf ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ zu einem Differentialoperator auf dem Körper der rationalen Funktionen

${}K(X_{1},\ldots ,X_{n})={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f,g\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,g\neq 0\right\}}\,.$

Umgekehrt lässt sich nicht jeder auf einer offenen Menge definierte Differentialoperator sinnvoll auf den Gesamtraum fortsetzen. Beispielsweise ist ein Operator wie ${}{\frac {1}{X}}\partial _{X}$ auf der Nenneraufnahme ${}K[X]_{X}$ (geometrisch: dort, wo $X\neq 0$ ist) definiert, aber nicht überall. Alle unter der Verwendung verschiedener Nennerpolynome aufgestellten Differentialoperatoren kann man als Differentialoperator auf ${}K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ auffassen und vergleichen. Dabei gilt, dass ein Differentialoperator

$E\colon K(X_{1},\ldots ,X_{n})\longrightarrow K(X_{1},\ldots ,X_{n})$

genau dann auf einem Unterring

${}R\subseteq K(X_{1},\ldots ,X_{n})\,$

einen sinnvollen Differentialoperator definiert, wenn ${}E(R)\subseteq R$ gilt. Es wird dann einfach der Definitionsbereich und der Bildbereich auf ${}R$ eingeschränkt.