Polynomring/Differentialoperatoren/Unitär/Bemerkung

Die Differentialoperatoren ${}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$ haben die besondere Eigenschaft, dass sie ${}X^{\alpha }$ auf ${}1$ abbilden. Generell gibt es für jedes Polynom ${}f\neq 0$ einen Operator, der dieses Polynom auf ${}1$ abbildet. Wenn ${}f$ die Form

${}f=\sum _{\beta =d}c_{\beta }X^{\beta }+\sum _{\beta <d}c_{\beta }X^{\beta }\,$

mit einem ${}c_{\alpha }\neq 0$ vom Grad ${}d$ für ein bestimmtes ${}\alpha$, so ist ${}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\alpha !}}$ ein Operator, der ${}f$ auf ${}c_{\alpha }$ abbildet.