Polynomring/Eine Variable/Einsetzungshomomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Bei einem Ringhomomorphismus

$\psi \colon R[X]\longrightarrow A$

mit ${}\psi \circ i=\varphi$. müssen die Konstanten ${}c\in R$ auf ${}\varphi (c)$ und ${}X$ auf ${}a$ gehen. Daher muss ${}X^{j}$ auf ${}a^{j}$ gehen. Da Summen respektiert werden, kann es nur einen Ringhomorphismus geben, der die im Zusatz angegebene Gestalt haben muss. Es ist also zu zeigen, dass durch diese Vorschrift wirklich ein Ringhomomorphismus definiert ist. Dies folgt aber direkt aus dem Distributivgesetz.

Zur bewiesenen Aussage