Polynomring/Eine Variable/Körper/Einsetzungshomomorphismus/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}z\in K$ ein fixiertes Element.

Dann ist die Abbildung

$K[X]\longrightarrow K,$

die einem Polynom ${}P$ die Einsetzung ${}P(z)$ zuordnet, ein Ringhomomorphismus.

Für beliebige Polynome ${}P,Q\in K[X]$ gilt also

1. ${}(P+Q)(z)=P(z)+Q(z)\,.$

2. ${}(P\cdot Q)(z)=P(z)\cdot Q(z)\,.$

3. ${}1(z)=1\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen