Polynomring/Eine Variable/Körper/Irreduzible Polynome/Textabschnitt

Wir möchten, abhängig von einem gewählten Grundkörper , Aussagen über die irreduziblen Elemente in und über die Primfaktorzerlegung von Polynomen treffen.



Es sei ein Körper und sei der Polynomring über .

Dann besitzt jedes Polynom , , eine eindeutige Faktorzerlegung

wobei ist und die verschiedene, normierte, irreduzible Polynome sind.

Dies folgt aus Fakt, aus Fakt und daraus, dass jedes Polynom zu einem normierten Polynom assoziiert ist.


Die irreduziblen Elemente stimmen mit den Primelementen überein, man spricht meist von irreduziblen Polynomen.


Das Polynom besitzt in die Primfaktorzerlegung

die quadratischen Polynome sind nicht weiter zerlegbar, da sie in (ebenso in ) keine Nullstelle besitzen.


Im Allgemeinen ist es schwierig, zu einem gegebenen Polynom die Primfaktorzerlegung zu finden.