Polynomring/Eine Variable/Körper/Irreduzible Polynome/Textabschnitt

Wir möchten, abhängig von einem gewählten Grundkörper ${}K$, Aussagen über die irreduziblen Elemente in ${}K[X]$ und über die Primfaktorzerlegung von Polynomen treffen.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$.

Dann besitzt jedes Polynom ${}F\in K[X]$, ${}F\neq 0$, eine eindeutige Faktorzerlegung

${}F=\lambda P_{1}^{r_{1}}{\cdots }P_{k}^{r_{k}}\,,$

wobei ${}\lambda \in K$ ist und die ${}P_{i}$ verschiedene, normierte, irreduzible Polynome sind.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, aus Fakt und daraus, dass jedes Polynom ${}\neq 0$ zu einem normierten Polynom assoziiert ist.

$\Box$

Die irreduziblen Elemente stimmen mit den Primelementen überein, man spricht meist von irreduziblen Polynomen.

Beispiel

Das Polynom ${}X^{6}-1$ besitzt in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Primfaktorzerlegung

${}X^{6}-1=(X-1)(X+1)(X^{2}+X+1)(X^{2}-X+1)\,,$

die quadratischen Polynome sind nicht weiter zerlegbar, da sie in ${}\mathbb {Q}$ (ebenso in ${}\mathbb {R}$) keine Nullstelle besitzen.

Im Allgemeinen ist es schwierig, zu einem gegebenen Polynom die Primfaktorzerlegung zu finden.