Polynomring/Eine Variable/Körper/Polynomfunktion/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$. Eine Funktion

$P\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto P(x),$

mit

${}P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\,$

heißt Polynomfunktion.

Man muss zwischen Polynomen und Polynomfunktionen unterscheiden, insbesondere für ${}K=\mathbb {Z} /(p)$.

Das Polynom

$X^{p}-X$

hat beispielsweise nach

dem kleinen Fermat für jedes ${}a\in K$ den Wert ${}a^{p}-a=0$. D.h. die durch dieses Polynom definierte Polynomfunktion ist die Nullfunktion, obwohl das Polynom selbst nicht das Nullpolynom ist.

Bei ${}K=\mathbb {R}$ lassen sich die Polynomfunktionen graphisch veranschaulichen.

Eine wichtige Frage ist, für welche Elemente ${}x\in K$ die Polynomfunktion einen bestimmten Wert annimmt. Hierbei ist insbesondere der Wert ${}0$ wichtig, da ja die Gleichung ${}P(x)=a$ äquivalent zu

${}P(x)-a=0\,$

ist und ${}P-a$ wieder ein Polynom ist. Für affin-lineare Polynome ${}aX+b$ (mit ${}a\neq 0$) ist ${}x={\frac {-b}{a}}$ die einzige Lösung. Für quadratische Polynome der reinen Form ${}X^{2}+c$ sind die Quadratwurzeln von ${}-c$ aus ${}K$, falls sie denn existieren, die Lösungen. Für ein quadratisches Polynom ${}aX^{2}+bX+c$ kann man das Bestimmen der Nullstellen durch quadratisches Ergänzen auf die reine Form zurückführen, siehe Aufgabe.