Polynomring/Eine Variable/Variablenwechsel/Fakt/Beweis
Beweis
Die Einsetzungshomomorphismen zu und definieren aufgrund von Fakt jeweils einen Ringhomomorphismus und von nach , die wir hintereinander schalten:
![{\displaystyle {}R[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7ee29b3b3d6eeb3b39f218ba987877e85928bd)
![{\displaystyle R[X]{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}R[X]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}R[X].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d265f78839c962fc4e3d87e207836c84d4c0fa60)
Bei diesem Ringhomomorphismus bleiben die Elemente aus unverändert, und die Variable wird insgesamt auf
geschickt. Daher muss die Verknüpfung aufgrund der Eindeutigkeit in Fakt die Identität sein. Dies gilt auch für die Hintereinanderschaltung in umgekehrter Reihenfolge, sodass ein Isomorphismus vorliegt.