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Polynomring/Einsetzung/Matrix/X^7-3X^6+4X^4+5X^3+7X^2-4X+5/0 2 4 0 0 1 0 0 0/Aufgabe/Lösung
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Polynomring/Einsetzung/Matrix/X^7-3X^6+4X^4+5X^3+7X^2-4X+5/0 2 4 0 0 1 0 0 0/Aufgabe
Es ist
(
0
2
4
0
0
1
0
0
0
)
2
=
(
0
2
4
0
0
1
0
0
0
)
∘
(
0
2
4
0
0
1
0
0
0
)
=
(
0
0
2
0
0
0
0
0
0
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&2&4\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0&2&4\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&2&4\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,}
und
(
0
2
4
0
0
1
0
0
0
)
3
=
(
0
0
2
0
0
0
0
0
0
)
∘
(
0
2
4
0
0
1
0
0
0
)
=
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
.
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&2&4\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}^{3}={\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&2&4\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.}
Dies gilt auch für die höheren Potenzen. Daher ergibt die Einsetzung
7
(
0
2
4
0
0
1
0
0
0
)
2
−
4
(
0
2
4
0
0
1
0
0
0
)
+
5
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
=
7
(
0
0
2
0
0
0
0
0
0
)
−
4
(
0
2
4
0
0
1
0
0
0
)
+
5
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
=
(
5
−
8
−
2
0
5
−
4
0
0
5
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}7{\begin{pmatrix}0&2&4\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2}-4{\begin{pmatrix}0&2&4\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+5{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}&=7{\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}0&2&4\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+5{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}5&-8&-2\\0&5&-4\\0&0&5\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe