Polynomring/Gradlexikographische Ordnung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}K$. Die gradlexikographische Ordnung auf der Menge der Monome ist durch

$X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}\prec X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}},$

falls der Grad von ${}X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}$, (also ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}$), kleiner als der Grad von ${}X_{1}^{b_{1}}\cdots X_{n}^{b_{n}}$ ist, oder, bei gleichem Grad, wenn ${}a_{1}=b_{1},\ldots ,a_{k}=b_{k}$, aber ${}a_{k+1}<b_{k+1}$ ist, gegeben.

Man verwendet also die Ordnung auf der Variablenmenge. Man vergleicht zwei Monome ${}f$ und ${}g$, indem man zuerst den Grad miteinander vergleicht. Stimmt dieser überein, so vergleicht man die Exponenten der ersten Variable der beiden Monome miteinander (man vergleicht also den „Anfangsbuchstaben“). Wenn es hier einen Größenunterschied gibt, so ist die Sache entschieden. Andernfalls schaut man sich den Exponenten der zweiten Variablen an, und so weiter. Dies führt zu einer totalen Ordung auf der Menge der Monome. Zu einem Monom gibt es jeweils nur endlich viele Monome, die bezüglich dieser Ordnung kleiner sind. Daher kann man über diese Ordnung Induktion führen.

Zu einem Polynom ${}f$ nennt man das Monom aus ${}f$ (mit einem Koeffizienten ${}\neq 0$) mit dem größten Exponententupel in der gradlexikographischen Ordnung das Leitmonom von ${}f$.