Es sei K {\displaystyle {}K} ein Körper und K [ X 1 , … , X n ] {\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]} der Polynomring über K {\displaystyle {}K} in n {\displaystyle {}n} Variablen und K [ X 1 , … , X n , Z ] {\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]} der Polynomring in n + 1 {\displaystyle {}n+1} Variablen. Zu F ∈ K [ X 1 , … , X n ] {\displaystyle {}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]} sei F ^ ∈ K [ X 1 , … , X n , Z ] {\displaystyle {}{\hat {F}}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]} die Homogenisierung (bezüglich Z {\displaystyle {}Z} ) und zu G ∈ K [ X 1 , … , X n , Z ] {\displaystyle {}G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]} sei G ~ {\displaystyle {}{\tilde {G}}} die (durch Z ↦ 1 {\displaystyle {}Z\mapsto 1} gegebene) Dehomogenisierung von G {\displaystyle {}G} . Zeige, dass F ^ ~ = F {\displaystyle {}{\tilde {\hat {F}}}=F} , aber nicht G ~ ^ = G {\displaystyle {}{\hat {\tilde {G}}}=G} gelten muss.
ein
Körper
und ![{\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96607693c80a38f197b1443eb366df0a6bbef1c3)
der
Polynomring
über in 
Variablen und ![{\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb0c9f6e41f0f714aeddee5f980c9087b54db99)
der Polynomring in 
Variablen. Zu ![{\displaystyle {}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb9907eef7712dd23f5765db372457691aa7d626)
sei ![{\displaystyle {}{\hat {F}}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6420ca5fd3aab4d1d4ddce5575487d4e19f1393b)
die
Homogenisierung
(bezüglich 
)
und zu ![{\displaystyle {}G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9fee97da4f7a2f552a97b17899eece38d674058)
sei 
die
(durch 
gegebene)
Dehomogenisierung
von 
. Zeige, dass 
, aber nicht 
gelten muss.
