Polynomring/Körper/1/Linearform/Lokalisierung/Quotientenkörper/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ und ${}K(X)$ der Körper der rationalen Funktionen über ${}K$. Es sei ${}a\in K$. Wir setzen

${}R={\left\{f\in K(X)\mid f{\text{ ist im Punkt }}a{\text{ definiert}}\right\}}\,.$

1. Zeige, dass ${}R$ ein Unterring von ${}K(X)$ ist.
2. Zeige

   ${}R=K[X]_{(X-a)}:={\left\{{\frac {P}{Q}}\mid Q{\text{ ist (nach Kürzung) kein Vielfaches von }}X-a\right\}}\,.$

3. Zeige, dass ${}R$ ein diskreter Bewertungsring ist.

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