Polynomring/Körper/n Variablen/Direkt/Definition

Polynomring in n Variablen

Zu einem Körper ${}K$ und einer Variablenmenge ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ besteht der Polynomring

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$

aus allen Polynomen ${}F(X_{1},\ldots ,X_{n})$ in diesen Variablen, wobei diese Menge durch die komponentenweise Addition und die Multiplikation, die sich durch die distributive Fortsetzung der Regel

${}X_{1}^{r_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}}\cdot X_{1}^{s_{1}}\cdots X_{n}^{s_{n}}:=X_{1}^{r_{1}+s_{1}}\cdots X_{n}^{r_{n}+s_{n}}\,$

ergibt, zu einem kommutativen Ring gemacht wird.