Polynomring/K/X^2+7X+5/6X+3/Einheitsideal/Aufgabe/Lösung

Es ist

{}X^{2}+7X+5={\left(6X+3\right)}{\left({\frac {1}{6}}X+{\frac {13}{12}}\right)}+{\frac {7}{4}}\,.

Da ${}X^{2}+7X+5$ und ${}{\left(6X+3\right)}{\left({\frac {1}{6}}X+{\frac {13}{12}}\right)}$ zum Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ gehören, gehört auch

{}{\frac {7}{4}}=X^{2}+7X+5-{\left(6X+3\right)}{\left({\frac {1}{6}}X+{\frac {13}{12}}\right)}\,

zu ${}{\mathfrak {a}}$ . Damit gehört auch

{}1={\frac {4}{7}}\cdot {\frac {7}{4}}\,

zum Ideal und wegen

{}P=P\cdot 1

für alle Polynome

{}P

ist

{}{\mathfrak {a}}

das Einheitsideal.