Polynomring/Positiv graduiert/Hilbert-Reihe/Fakt/Beweis

Beweis

Die Monome ${}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}$ vom Gesamtgrad ${}d=\sum _{j=1}^{n}d_{j}\nu _{j}$ bilden eine ${}K$-Basis von ${}R_{d}$. Die Dimension der ${}d$-ten Stufe ${}R_{d}$ ist also die Anzahl der Elemente in der Menge

${}A_{d}:={\left\{(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}\mid \nu _{1}d_{1}+\ldots +\nu _{n}d_{n}=d\right\}}\,.$

Die Behauptung folgt somit aus

${}{\begin{aligned}\sum _{d=0}^{\infty }\vert {A_{d}}\vert z^{d}&=\sum _{d=0}^{\infty }\sum _{(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in A_{d}}z^{d}\\&={\left(\sum _{\nu _{1}=0}^{\infty }z^{\nu _{1}d_{1}}\right)}\cdots {\left(\sum _{\nu _{n}=0}^{\infty }z^{\nu _{n}d_{n}}\right)}\\&={\frac {1}{1-z^{d_{1}}}}\cdots {\frac {1}{1-z^{d_{n}}}},\end{aligned}}$

wobei wir im letzten Schritt die Formel für die geometrische Reihe verwendet haben.

Zur bewiesenen Aussage