Polynomring/Quotientenkörper/Multiplikation mit Zähler durch Nenner von gleichem Grad/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X]$ der Polynomring in der einen Variablen ${}X$ über ${}K$ und ${}Q=K(X)$ der Quotientenkörper davon, also der Körper der rationalen Funktionen. Auf ${}Q$ definieren wir die Relation

${}f\sim g\,,$

wenn es Polynome ${}R$ und ${}S$ vom gleichen Grad ${}\geq 1$ mit

${}g={\frac {R}{S}}f\,$

gibt.

1. Zeige, dass durch ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
2. Bestimme die Äquivalenzklasse zu ${}0$.
3. Es seien ${}A,B,C,D\in K[X]$ Polynome ${}\neq 0$. Zeige, dass

   ${}{\frac {A}{B}}\sim {\frac {C}{D}}\,$

   genau dann gilt, wenn

   ${}\operatorname {grad} \,(A)-\operatorname {grad} \,(B)=\operatorname {grad} \,(C)-\operatorname {grad} \,(D)\,.$

4. Zeige, dass jedes ${}f\in Q$, ${}f\neq 0$, einen eindeutig bestimmten Repräsentanten der Form ${}X^{n}$ mit ${}n\in \mathbb {Z}$ besitzt.

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