Polynomring über Körper/Eine Variable/Produkt von Linearfaktoren/Teiler/Aufgabe/Lösung

Wir arbeiten mit normierten Polynomen und schreiben

${}P=(X-a_{1})^{n_{1}}(X-a_{2})^{n_{2}}\cdots (X-a_{r})^{n_{r}}\,$

mit verschiedenen ${}a_{i}$ und führen Induktion über den Grad ${}d=\sum _{j=1}^{r}n_{j}$ von ${}P$. Die Teilbarkeitsbeziehung bedeutet die Existenz eines Polynoms ${}Q$ mit

${}P=QT\,.$

Damit ist insbesondere

${}T(a_{1})\cdot Q(a_{1})=P(a_{1})=0\,.$

Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper gilt ${}T(a_{1})=0$ oder ${}Q(a_{1})=0$. Nach Fakt bedeutet dies, dass ${}T$ oder ${}Q$ von ${}X-a_{1}$ geteilt wird. Im zweiten Fall schreiben wir

${}{\begin{aligned}(X-a_{1})^{n_{1}}(X-a_{2})^{n_{2}}\cdots (X-a_{r})^{n_{r}}&=(X-a_{1})(X-a_{1})^{n_{1}-1}(X-a_{2})^{n_{2}}\cdots (X-a_{r})^{n_{r}}\\&=TQ'(X-a_{1}).\end{aligned}}$

Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft im Polynomring folgt daraus

${}P'=(X-a_{1})^{n_{1}-1}(X-a_{2})^{n_{2}}\cdots (X-a_{r})^{n_{r}}=TQ'\,$

und wir können auf ${}P'$ die Induktionsvoraussetzung anwenden. Im ersten Fall ist

${}T=T'(X-a_{1})\,,$

woraus sich

${}(X-a_{1})(X-a_{1})^{n_{1}-1}(X-a_{2})^{n_{2}}\cdots (X-a_{r})^{n_{r}}=(X-a_{1})T'Q\,$

und somit

${}P'=(X-a_{1})^{n_{1}-1}(X-a_{2})^{n_{2}}\cdots (X-a_{r})^{n_{r}}=T'Q\,$

ergibt. Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf ${}P'$ bedeutet, dass ${}T'$ in Linearfaktoren zerfällt und dass nur Linearfaktoren aus ${}P'$ mit einer Vielfachheit vorkommen, die durch die Vielfachheit von ${}P'$ beschränkt ist. Da die Vielfachheiten zu ${}X-a_{j}$ in ${}P$ und in ${}P'$ für ${}j\geq 2$ übereinstimmen und die Vielfachheit von ${}X-a_{1}$ sich um ${}1$ reduziert, dies aber auch beim Übergang von ${}T$ nach ${}T'$ zutrifft, folgt die Aussage.

Zur gelösten Aufgabe