Polynomring über Körper/Punkte im affinen Raum und K-Algebra-Homomorphismen/Identifizierung/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen.

Dann stehen die ${}K$-Algebrahomomorphismen von ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nach ${}K$ in natürlicher Weise in Bijektion mit den Punkten aus dem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$,

und zwar entspricht dem Punkt ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ der Einsetzungshomomorphismus ${}X_{i}\mapsto a_{i}$. Mit anderen Worten,

${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}={{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen