Populationsdynamik der Luchse in Deutschland

Allgemein:
Der einst weit verbreitete Eurasische Luchs (Lynx lynx) verschwand im Laufe des 18./19. Jahrhunderts aus Mitteleuropa. Seitdem ist ihm eine spontane Rückkehr aus benachbarten Populationen wie Skandinavien oder Osteuropa eigenständig nicht mehr möglich. Damit der Luchs wieder in deutschen Wäldern, in gut geeigneten Lebensräumen, existieren kann, wird er durch menschliche Hilfe seit einigen Jahren wieder angesiedelt.

Der Luchs (Lynx lynx )

Modellierungsthema

Beobachtung der Gebiete in Deutschland, in denen der Luchs neu angesiedelt und/ oder verbreitet ist.

Wie schnell steigt die Population der Luchse in Deutschland? (Fortpflanzung, Ansiedlung, Sterberate)

Ziel: Nach wie viel Jahren ist die Luchspopulation, ohne Einfluss des Menschen und mit Einfluss des Menschen, stabil?

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Modellierungszyklen

1. Zyklus

Zielsetzung

Im 1. Zyklus betrachten wir die Anzahl der Luchse in Deutschland pro Jahr. Mit den erfassten Daten berechnen wir die Wachstumsrate der Luchse in Deutschland pro Jahr, um eine mögliche Entwicklung der Population zu erkennen und diese im weiteren Modellierungsverlauf auf den Pfälzer Wald zu übertragen. Hierbei berücksichtigen wir die Anzahl der Luchse + Jungtiere abzüglich der Totfunde.

Vorgehensweise

Aus den Daten der Websites des Bundesamtes für Naturschutz (bfn) sowie der World Wide Fund for Nature (WWF) haben wir aus den Jahren 2016-2018 die Anzahl der Luchse, der Jungtiere sowie die Totfunde entnommen. Daraus folgen realitätsnahe Werte für die Anzahl der Luchse in Deutschland pro Jahr, mit denen wir weitere Berechnungen starten können (Tabelle 1).

Zunächst berechnen wir die jährliche Sterberate der Luchse. Dazu verwenden wir die Formel: $\delta =\left({\frac {\left({\text{Totfunde pro Jahr}}\right)}{\text{Anzahl der Luchse pro Jahr}}}\right)$. Aus den jährlichen Sterberaten ergibt sich eine Durchschnittliche Sterberate von 0,17. Anschließend ermitteln wir die Geburtenrate. Diese ergibt sich aus $\gamma =\left({\frac {\left({\text{Welpen pro Jahr}}\right)}{\text{Anzahl der Luchse pro Jahr}}}\right)$. Aus der jährlichen Geburtenrate ergibt sich eine durchschnittliche Geburtenrate von 0,42 . Diese Wachstumsrate veranschaulichen wir mit Hilfe von GeoGebra indem wir die realitischen Luchszahlen pro Jahr in ein Koordinatensystem eintragen und die Punkte miteinander verbinden. Nun erstellen wir die Wachstumsfunktion: $p(t)=p_{0}\cdot e^{(\gamma -\delta )\cdot t}$. Wobei $\gamma$ für die Geburtenrate und $\delta$
für die Sterberate steht. Als $p_{0}$ setzen wir 61, da die Aufzeichnung mit dieser Anzahl im Jahr 2016 beginnt. Nun können wir diese Funktion, welche durch das Malthus Wachstumsmodell entstanden ist, mit unseren Luchszahlen vergleichen.

Fachmathematische Werkzeuge

Datenverarbeitung || (Sek 2)
Geburten und Sterberaten || (Sek 2)
Malthus Wachstumsmodell || (Sek 2)
Tabellenkalkulationsprogramm (Microsoft Excel) || (Sek I )
Geogebra || (Sek 1)

Ergebnisse

Wachstum der Luchse

Tabelle 1:

Jahre	Anzahl Luchse in DE	Anzahl Jungtiere in DE	Totfunde	Gesamtanzahl Luchse	Sterberate	Geburtenrate
2016	70	13	22	61	0,31	0,33
2017	77	37	4	110	0,05	0,48
2018	92	43	14	121	0,15	0,46
2019	122	28	13	137	0,09	0,20
					Durchschnitt	Durchschnitt
					0,15	0,37

Bemerkung: Das jährliche Monitoring läuft jeweils vom 1.Mai bis 30. April des darauffolgenden Jahres. (2018 = 01.5.18-30.04.19)

Das Malthus Wachstumsmodell, welches rechts in der Grafik dargestellt ist, ist für die Darstellung Populationsdynamik der Luchse etwas ungenau, da hier Sterbe- und Geburtenrate als konstant betrachtet werden. Deshalb werden wir im nächsten Zyklus ein anderes Modell wählen, bei denen Sterbe- und Geburtenrate veränderlich ist, bzw. bei denen man bessere Werte für die durchschnittlichen Raten erhält.

2. Zyklus

Regression Geburtenrate Luchs

Regression der Sterberate Luchs

Die Wachstumsrate der Luchspopulation, AH ist diese Bild richtig? was ist hier wirklich dargestellt, die Wachstumsrate oder die Populationsentwicklung?

Zielsetzung

In diesem Zyklus beschäftigen wir uns damit, die Geburten- und Sterberate präziser darzustellen. Dazu führen wir eine Regression durch, wobei eine Funktion zu beiden Raten erstellt wird. Mit dieser Funktion können wir nun die Wachstumsrate der Luchspopulationen bestimmten und durch aufstellen der passenden Differentialgleichung auch das Jahr bestimmen, indem die Luchspopulation stabil wird.

Vorgehensweise Regression

Wir haben mit unseren Werte aus dem 1. Zyklus eine Regression durchgeführt. Dies war nötig, da die Werte für die Geburtenrate und Sterberate nicht als Konstanten angenommen werden können. Durch die Regression konnten wir die jeweiligen Gleichungen bestimmen. Zuerst führten wir für beide Raten eine lineare Regression durch, stellten dabei allerdings fest, dass die entstandenen Gleichungen sehr ungenau sind. Daher haben wir uns sowohl bei der Geburtenrate, als auch bei der Sterberate, für eine Polynomische Regression entschieden und diese mit Hilfe von Excel durchgeführt. Zu dieser Entscheidung kamen wir, da das Bestimmtheitsmaß der Polynomischen Regression bei beiden Raten wesentlich höher war als das der Linearen.

Vorgehensweise Wachstumsrate

Die Funktion zur Berechnung der Wachstumsrate ergibt sich durch die Funktionen, die wir durch die Regression erhalten haben.

${\boldsymbol {\gamma }}(x)=-0{,}1025\cdot \mathbf {x} ^{2}-413{,}55\cdot \mathbf {x} +417123$ ( Funktion der Geburtenrate )

${\boldsymbol {\delta }}(x)=0{,}05\cdot \mathbf {x} ^{2}-201{,}81\cdot \mathbf {x} +203628$ ( Funktion der Sterberate )

$Wachstumsrate(x)={{\boldsymbol {\gamma }}(x)-{\boldsymbol {\delta }}(x)}$ ( Funktion der Wachstumsrate )

Um jedoch den weiteren Wachstum einer exponentiell wachsenden Population zu berechnen, benötigen wir eine Differentialgleichung, welche eine Konstante voraussetzt.

Die Luchspopulation kann hier als exponentiell wachsend angenommen werden, da sämtliche Einflüsse der Natur, wie Nahrungsmittel Verfügbarkeit und territoriale Grenzen außer acht gelassen werden.

Vorgehensweise Differentialgleichung

a) Differentialgleichung auf Grund des Malthus Wachstumsmodelles

Zuerst probierten wir eine Differentialgleichung auf Grundlage des in Zyklus 1 beschriebenen Malthus Wachstumsmodelles aufzustellen. Dafür nahmen wir die Durchschnittswerte der Geburten- und Sterberate als Konstanten an und somit gilt: $Wachstumsrate(x)=0{,}37-0{,}15=0,22$ Nun haben wir mit der Formel : $\mathbf {x} ={{\boldsymbol {\gamma }}(x)-{\boldsymbol {\delta }}(x)}\cdot \mathbf {p}$ ( Differentialgleichung für Luchspopulation p'(x)=f(x,p(x)) ) das Populationswachstum der Luchse von 2016 bis 2019 berechnet. Der durch die Rechnung entstandene Wert für die Anzahl der Luchse im Jahr 2019 lag jedoch bei 168 Individuen. Aus unseren Daten wissen wir jedoch, dass es zu diesem Zeitpunkt nur 137 Luchse in Deutschland gibt. Damit war klar, dass diese Berechnung zu ungenau ist.

b) Differentialgleichung auf Grund der Wachstumsrate

Als Nächstes stellten wir eine Differentialgleichung auf Grundlage der zuvor, durch polynomische Funktionen, berechneten Wachstumsrate auf. Als Wachstumskonstante nehmen wir den Durchschnitt der Wachstumsrate vom Zeitraum 2016-2019, welcher bei $0,157652$ lag. Mit der daraus resultierenden Differentialgleichung haben wir den weiteren Verlauf der Luchspopulationen berechnet bis es 1000 Individuen gab, und damit eine stabile Population erreicht ist.

Ergebnisse

Wir haben uns für Variante b) entschieden, da unsere dadurch errechnete Anzahl der Luchs 2019 bei 131 lag und diese Ergebnis relativ nah an der tatsächlichen Anzahl von 137 lag. Die Population wäre ab dem Jahr 2033 stabil, da es zu diesem Zeitpunkt 1021 Luchse in Deutschland geben wird.

Fachmathematische Werkzeuge

Microsoft Excel || (Sekundarstufe I)
lineare Regression || (Uni-Niveau)
nicht-lineare Regression || (Uni-Niveau)
Octave GLU || (Uni-Niveau)
Differentialgleichungen || (Uni-Niveau)
Interpretation von Regressions-Ergebnissen || (Uni-Niveau)

3. Zyklus

Allerdings ist die Datenlage für solche Kalibrierung sehr schlecht und somit sind die Ergebnisse sehr unzuverlässig.

Zuordnung des Themas zu den Nachhaltigkeitszielen der Vereinten Nationen

SDG 3: Good Health and Well-being

Allen Lebewesen soll ein gesundes Leben ermöglicht werden.

SDG 15: Life on Land
Die Wiederansiedlung der Luchse hilft die Landökosysteme zu schützen und hält sie damit im Gleichgewicht. Zudem wird die Biodiversität der Tierarten geschützt.

Literatur

Bundesamt für Naturschutz: https://www.bfn.de/presse/pressearchiv/2018/detailseite.html?tx_ttnews%5Btt_news%5D=6275&cHash=7e1ef7eb42501239462c458280051442 (letzter Aufruf 03.04.20 12:15) WWF: https://www.wwf.de/themen-projekte/bedrohte-tier-und-pflanzenarten/luchs/ (letzter Aufruf 20.05.20 12:03)