Positionswurf beim Basketball/Universität

Wie verändert sich die Geschwindigkeit und die Strecke, wenn man den Luftwiderstand berücksichtigt?

Wir verwenden das Modell der Newtonschen Reibung um die Luftwiderstandskraft zu bestimmen. Diese Kraft wirkt immer entgegen der Bewegungsrichtung des Basketballs. Weiterhin zeigt die Gravitationskraft senkrecht nach unten.

Gravitationskraft
$F_{g}=m*g$	$F_{g}=0,567kg*9,81m/s^{2}=5,56N$	m : Masse des Basketballs g : gleichbleibende Erdbeschleunigung

Luftwiderstandskraft
$F_{L}={\frac {c_{w}*A*\rho *v^{2}}{2}}$	$c_{w}$: Widerstandsbeiwert (bei einer Kugel ca 0,2) A: Querschnittsfläche ($A=\left({\frac {U}{\pi }}\right)^{2}*{\frac {\pi }{4}}\approx 0,045m$) $\rho$: Dichte der Luft ($\rho :=1,2kg/m^{3}$) v: Geschwindigkeit des Balles

Herleitung der DGL: Die Luftwiderstandskraft beeinflusst die Geschwindigkeit, sowohl in x- als auch in y-Richtung. Wir betrachten die Kräfte in beide Richtungen.

$m*a_{x}=-F_{Lx}$

$m*a_{y}=-F_{Ly}-F_{G}$

Da die Ableitung der Geschwindigkeit die Beschleunigung ergibt und der Ball im Winkel α abgeworfen wird, ergeben sich folgende Gleichungen:

$m*{dv_{x} \over dt}=-F_{L}*cos(\alpha )$

$m*{dv_{y} \over dt}=-F_{L}*sin(\alpha )-F_{G}$

Mit: $sin(\alpha )=v_{y}/v$ und $cos(\alpha )=v_{x}/v$. Wir setzten die Kräfte-Gleichungen ein und schreiben alle Konstanten der Luftwiderstandskraft als k ($k={c_{\omega }*A*\rho \over 2}$). Dann ergeben sich folgende Gleichungen:

$m*{dv_{x} \over dt}=-k*v^{2}*{v_{x} \over v}=-k*v*v_{x}$

$m*{dv_{y} \over dt}=-k*v^{2}*{v_{y} \over v}-m*g=-k*v*v_{y}-m*g$

Wir setzten für v ein und erhalten unsere Differentialgleichungen:

$m*{d \over dt}*v_{x}=-k*{\sqrt {v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}}}*v_{x}(t)$

$m*{d \over dt}*v_{y}=-k*{\sqrt {v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}}}*v_{y}(t)-m*g$

Wie stark beeinflusst die Rotation des Balles die Flugkurve? (Magnuseffekt)

Durch das Abklappen des Handgelenks und durch den sogenannten "Fingerroll" (Das Rollen des Balles über die Fingerspitzen, am Ende der Wurfbewegung) erhält der Ball eine Rotation. Diese Rotation beeinflusst die relative Geschwindigkeit der vorbeiströmenden Luft zur Oberfläche.

Magnuskraft (vektoriell)
${\vec {F_{M}}}:=C*({\vec {v}}\times {\vec {\omega }})$	C: Konstante ( bei einer Kugel: $C=\pi ^{2}*r^{3}*\rho$) ${\vec {\omega }}$: Winkelgeschwindigkeit in rad/s ${\vec {v}}$: Geschwindigkeit des Balles

Herleitung der DGL: Die Magnuskraft bildet sich aus dem Vektorprodukt von ${\vec {v}}$ und ${\vec {\omega }}$ und steht somit rechtwinkelig zu den beiden Vektoren.

${\vec {F_{M}}}={\begin{bmatrix}-v_{y}\\v_{x}\end{bmatrix}}*{F_{M} \over v}={\begin{bmatrix}-v_{y}\\v_{x}\end{bmatrix}}*{C*v*\omega \over v}={\begin{bmatrix}-v_{y}\\v_{x}\end{bmatrix}}*C*\omega$

Wir verwenden die DGL von oben und erhalten folgende neue Gleichungen:

$m*{d \over dt}*v_{x}=-k*{\sqrt {v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}}}*v_{x}(t)-v_{y}(t)*C*\omega$

$m*{d \over dt}*v_{y}=-k*{\sqrt {v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}}}*v_{y}(t)-m*g+v_{x}(t)*C*\omega$

Betrachtung der horizontalen und vertikalen Flugkurve (schiefe Wurf)

Der Ball wird aus der Ruhe in Bewegung gebracht, demnach handelt es sich um ein beschleunigten Vorgang. Das physikalische Modell des schiefen Wurfs beschreibt am besten den Korbwurf. So ergeben sich folgende Geschwindigkeitsgleichungen (unter Vernachlässigung des Luftwiderstands, mit dem Abwurfwinkel α):

• horizontal: $v_{0x}=v_{0}*cos(\alpha )$

• vertikal: $v_{0y}=v_{0}*sin(\alpha )$

Daraus ergeben sich folgende Ortsgleichungen:

• horizontal: ${\textstyle x(t)=v_{0}t*cos(\alpha )}$
• vertikal: $y(t)=v_{0}t*sin(\alpha )-{\frac {g}{2}}t^{2}$

Demnach lautet die vektorielle Bahngleichung:

${\vec {r}}(t)={\binom {x(t)}{y(t)}}={\binom {v_{0}t*cos(\alpha )}{v_{0}t*sin(\alpha )-{\frac {g}{2}}t^{2}}}$

Wir lösen nun die horizontale Ortsgleichung nach $t$ auf

$t={\frac {x}{v_{0}cos(\alpha )}}$

Nun setzen wir $t$ in die vertikale Ortsgleichung ein, um die explizite Bahngleichung im Ortsraum zu erhalten

$y(x)=v_{0}({\frac {x}{v_{0}cos(\alpha )}})sin(\alpha )-{\frac {g}{2}}({\frac {x}{v_{0}cos(\alpha )}})^{2}\Longleftrightarrow y(x)=({\frac {x}{cos(\alpha )}})sin(\alpha )-{\frac {g}{2v_{0}^{2}cos(\alpha )^{2}}}x^{2}\Longleftrightarrow y(x)=x*tan(\alpha )-{\frac {g}{2v_{0}^{2}cos(\alpha )^{2}}}x^{2}$

$y(x)=x*tan(\alpha )-{\frac {g}{2v_{0}^{2}cos(\alpha )^{2}}}x^{2}$

Wir wollen ebenfalls in unserem Modell die Abwurfgeschwindigkeit optimieren. Deswegen stellen wir unsere $y(x)$- Gleichung auf $v$ um:

${\frac {g}{2v_{0}^{2}cos(\alpha )^{2}}}x^{2}=x*tan(\alpha )-y\Longleftrightarrow {\frac {1}{2v_{0}^{2}cos(\alpha )^{2}}}={\frac {x*tan(\alpha )-y}{gx^{2}}}\Longleftrightarrow {\frac {1}{v_{0}^{2}}}={\frac {tan(\alpha )-{\frac {y}{x}}}{gx}}*2cos(\alpha )^{2}\Longleftrightarrow v_{0}={\sqrt {\frac {gx}{2cos(\alpha )^{2}(tan(\alpha )-{\frac {y}{x}})}}}$

$v_{o}={\sqrt {\frac {gx}{2cos(\alpha )^{2}(tan(\alpha )-{\frac {y}{x}})}}}$