Positiv graduierte Algebra/C/Kontrahierbar/Triviale Fundamentalgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist ${}X\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ eine abgeschlossene Teilmenge, die unter der Operation

${\mathbb {C} }^{\times }\times {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$

mit

${}t{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}={\left(t^{d_{1}}x_{1},\ldots ,t^{d_{n}}x_{n}\right)}\,$

von ${}t\in {\mathbb {C} }^{\times }$ abgeschlossen ist, wobei die ${}d_{i}$ die positiven Grade der Erzeuger der Algebra bezeichnen. Es genügt daher, eine Kontraktion des affinen Raumes ${}{\mathbb {C} }^{n}$ auf den Nullpunkt anzugeben, die mit den Bahnen der Operation verträglich ist. Dazu setzen wir die Operationsabbildung zu einer Abbildung

${\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$

mit der gleichen Vorschrift fort. Wegen ${}d_{i}\geq 1$ ist dies wohldefiniert und algebraisch, also insbesondere stetig. Für ${}t=0$ist dies die Nullabbildung und für ${}t=1$ die Identität. Für jedes ${}t\in [0,1]$ wird der Nullpunkt auf sich abgebildet. Die auf die Verbindungsstrecke von ${}0$ nach ${}1$ eingeschränkte Abbildung

$[0,1]\times {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$

ist somit eine kontrahierende Abbildung auf den Nullpunkt. Nach Fakt ist die Fundamentalgruppe trivial.

Zur bewiesenen Aussage