Positive reelle Zahlen/Sonderbare Verknüpfungen/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die reelle Exponentialfunktion zur Basis ${}e$, also die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,z\longmapsto e^{z}.$

Diese Abbildung ist bijektiv, da wir den Bildbereich entsprechend eingeschränkt haben, mit dem natürlichen Logarithmus als Umkehrabbildung. Unter dieser Abbildung gilt

${}{\begin{aligned}\varphi (z+w)&=e^{w+z}\\&=e^{w}\cdot e^{z}\\&=\varphi (w)\oplus \varphi (z),\end{aligned}}$

d.h. die Addition ${}+$ wird auf die neue Addition ${}\oplus$ abgebildet, und

${}{\begin{aligned}\varphi (z\cdot w)&=e^{z\cdot w}\\&=e^{(\ln e^{z})(\ln e^{w})}\\&=e^{z}\otimes e^{w}\\&=\varphi (z)\otimes \varphi (w),\end{aligned}}$

d.h. die Multiplikation ${}\cdot$ wird auf die neue Addition ${}\otimes$ abgebildet. Unter dieser Abbildung bleiben alle Gesetzmäßigkeiten erhalten, deshalb ist ${}\mathbb {R} _{+}$ mit den neuen Verknüpfungen ebenfalls ein Körper. Die neutralen Elemente sind die Bilder der neutralen Elemente, d.h. die ${}1$ ist neutrales Element der neuen Addition und ${}e$ ist neutrales Element der neuen Multiplikation.

Zur gelösten Aufgabe