Potenz/Produkt/Extrema/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

${}f(x,y)=x^{y}y^{x}\,$

auf ${}\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} _{>0}$.

1. Bestimme die ersten partiellen Ableitungen von ${}f$.
2. Zeige, dass ${}f$ genau einen kritischen Punkt besitzt (Tipp: kann ${}y>x$ sein?) und bestimme diesen.
3. Bestimme die Hesse-Matrix von ${}f$.
4. Bestimme die Extrema von ${}f$.

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