Potenzreihe/Koeffizientenquotient/Konvergenzradius/Aufgabe

Es sei ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe mit ${}c_{n}\in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Wir betrachten die Folge ${}{\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn ${}{\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}$ gegen ${}0$ konvergiert, so hat die Potenzreihe unendlichen Konvergenzradius.

b) Wenn ${}{\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}$ gegen ${}a>0$ konvergiert, so hat die Potenzreihe den Konvergenzradius ${}{\frac {1}{a}}$.

c) Wenn ${}{\frac {\vert {c_{n+1}}\vert }{\vert {c_{n}}\vert }}$ bestimmt gegen ${}+\infty$ divergiert, so hat die Potenzreihe den Konvergenzradius

${}0$.

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