Wir betrachten die ebene affine Kurve vom Grad drei, die durch die Gleichung gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind
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Wir bestimmen zunächst, ob die Kurve glatt ist, in dem wir nach singulären Punkten schauen. Die erste partielle Ableitung liefert
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Setzt man dies in die Kurvengleichung ein, so erhält man
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woraus oder folgt. Für kann die zweite partielle Ableitung nicht verschwinden. Für die zweite Lösung ergibt die zweite partielle Ableitung die Bedingung
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die nicht stimmt. Die Kurve hat also keine singulären Punkte und ist demnach glatt.
Wir berechnen die Potenzreihe , die die Kurve im Nullpunkt als Graph beschreibt (es ist ). Die Tangente im Nullpunkt ist durch gegeben (also die -Achse), was sowohl aus der Kurvengleichung direkt ablesbar ist, aber sich auch durch Betrachten der partiellen Ableitungen ergibt. Die Anfangsbedingungen sind daher . Für die folgenden Koeffizienten von müssen wir aus der Gleichung
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über die Koeffizienten von die Bedingungen an herauslesen.
. Der Koeffizient zu liefert sofort .
. Der dritte Koeffizient liefert die Bedingung , woraus folgt.
. Wir müssen die Bedingungen betrachten, die sich aus
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ergeben. Der linke Summand ist erstmals für den siebten Koeffizienten relevant, in den Koeffizienten darunter stehen jeweils isoliert, sodass sich ergibt. Der siebte Koeffizient ergibt die Bedingung
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also .
. Diese Koeffizienten stehen wieder isoliert, sodass sie sein müssen.
. Der elfte Koeffizient liefert die Bedingung
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sodass sich
ergibt.
. Diese Koeffizienten stehen wieder isoliert, sodass sie sein müssen.
. Der fünfzehnte Koeffizient liefert die Bedingung
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sodass sich
ergibt.
Die Anfangsglieder von sind also
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