Wir betrachten die ebene affine Kurve vom Grad drei, die durch die Gleichung
gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind
-
Die zweite Ableitung ist nur bei
gleich
, dort hat aber
den Wert
, d.h. die Kurve ist glatt. Im Nullpunkt haben die partiellen Ableitungen den Wert
. Die zugehörige Tangente ist also die
-Achse, was dazu passt, dass der lineare Term der Kurvengleichung
ist.
Wir berechnen die Potenzreihe
,
die die Kurve im Nullpunkt als Graphen beschreibt
(es ist
).
Die Anfangsbedingungen sind
.
Für die folgenden Koeffizienten von
müssen wir aus der Gleichung
-

also
-

über die Koeffizienten der
die Bedingungen an
herauslesen.
. Der zweite Koeffizient liefert sofort
.
. Der dritte Koeffizient liefert die Bedingung
,
woraus
folgt.
Die folgenden Koeffizienten liefern die Bedingung
,
sodass also die folgenden
abwechselnd
und
sind. Man hat also eine einfache Rekursionsformel und es ist
-

Die Umformung der Kurvengleichung in
-

zeigt, dass hier der Graph einer rationalen Funktion
(mit einem Pol bei
)
vorliegt. Die angegebene Potenzreihe beschreibt also den Graphen einer rationalen Funktion als Graphen einer formal-analytischen Funktion.