Potenzreihenring/Körper/Lokaler Ring/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist ${}T_{1}P$ für eine beliebige Potenzreihe ${}P$ definitiv nicht gleich ${}1$ und somit sind die Variablen keine Einheiten. Es sei ${}Q\notin (T_{1},\ldots ,T_{n})$. Dann ist der Koeffizient ${}a_{0}$ von ${}Q$ nicht ${}0$. Wir machen den Ansatz

${}QP={\left(a_{0}+\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}\setminus \{0\}}a_{\nu }T^{\nu }\right)}{\left(b_{0}+\sum _{\mu \in \mathbb {N} ^{n}\setminus \{0\}}b_{\mu }T^{\mu }\right)}=1\,$

und zeigen durch Induktion über den Grad von ${}\mu$, dass es ${}b_{\mu }$ gibt, die diese Gleichung erfüllen. Zunächst ist

${}b_{0}:={\frac {1}{a_{0}}}\,$

zu wählen. Es seien nun alle Koeffizienten vom Grad ${}<\vert {\mu }\vert$ schon gefunden. Der Koeffizient vor ${}T^{\mu }$ ist

$\sum _{\nu +\lambda =\mu }a_{\nu }\cdot b_{\lambda },$

und dieser soll ${}0$ werden. In der Summe sind die ${}a_{\nu }$ bekannt und sämtliche ${}b_{\lambda }$ mit der Ausnahme von ${}b_{\mu }$ (der mit ${}a_{0}$ zu multiplizieren ist) sind auch schon bekannt, da diese kleineren Grad als ${}\vert {\mu }\vert$ haben. Es ist nun ${}b_{\mu }$ so zu wählen, dass die Gesamtsumme gleich ${}0$ ist, was wegen ${}a_{0}\neq 0$ in eindeutiger Weise möglich ist. Das Komplement des Ideals ${}(T_{1},\ldots ,T_{n})$ besteht also nur aus Einheiten und somit handelt es sich um ein maximales Ideal. Der Restklassenkörper ist ${}K$, und zwar gibt es einen kanonischen Isomorphismus

$K\longrightarrow K[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]\longrightarrow K[[T_{1},\ldots ,T_{n}]]/(T_{1},\ldots ,T_{n}).$

Zur bewiesenen Aussage