Prädikatenlogik/Substitution/Hintereinander/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}+$ ein zweistelliges Funktionssymbol und sei der Ausdruck ${}\alpha$ gleich ${}x_{1}=x_{2}$ . Wir setzen

{}t_{1}=t_{2}=x_{1}+x_{2}\,.

Dann ist einerseits (wir schreiben ${}\equiv$ für die Gleichheit von Ausdrücken)

{}{\begin{aligned}\alpha {\frac {t_{1},t_{2}}{x_{1},x_{2}}}&\equiv (x_{1}=x_{2}){\frac {x_{1}+x_{2},x_{1}+x_{2}}{x_{1},x_{2}}}\\&\equiv x_{1}+x_{2}=x_{1}+x_{2},\end{aligned}}

was allgemeingültig ist, und andererseits

{}{\begin{aligned}{\left(\alpha {\frac {t_{1}}{x_{1}}}\right)}{\frac {t_{2}}{x_{2}}}&\equiv {\left((x_{1}=x_{2}){\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}}}\right)}{\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}}}\\&\equiv {\left(x_{1}+x_{2}=x_{2}\right)}{\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}}}\\&=x_{1}+(x_{1}+x_{2})=x_{1}+x_{2},\end{aligned}}

was nicht allgemeingültig ist (beispielsweise bei Interpretation in ${}\mathbb {N}$ ).

Somit ist die Implikation nicht allgemeingültig.