Prädikatenlogik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/x gleich y/Faktorisierung/Aufgabe

Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet und ${}L^{S}$ die zugehörige Sprache. Die Ausdrucksmenge ${}\Gamma$ bestehe aus ${}x=y$, wobei ${}x,y$ verschiedene Variablen seien. Zeige, dass zwei Terme ${}s,t$ genau dann äquivalent im Sinne von Bemerkung sind, wenn es eine Kette von Termen

$t_{0}=s,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{k-1},t_{k}=t$

derart gibt, dass beim Übergang von ${}t_{i}$ nach ${}t_{i+1}$ genau ein Vorkommen von ${}x$ (bzw. ${}y$) in ${}t_{i}$ durch ${}y$ (bzw. ${}x$)

ersetzt wird.

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