Prädikatenlogische Formeln

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Zweistellige Prädikate

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Mit einem zweistelligen Prädikat lassen sich 10 verschiedene Formeln bilden. Diese unterscheiden sich in ihrem Sinn.
Allerdings gibt es nur 2*A083355(2) = 8 verschiedene Bedeutungen die diese Formeln haben können. (Vgl. Sinn und Bedeutung)
Man beachte, dass es in der Mathematik nicht um Sinn sondern um Bedeutung geht. Formeln mit gleicher Bedeutung sind austauschbar.

Als Beispiel sei   das zweistellige Prädikat "x liebt y."

In den Matrizen der Relationen steht die nach unten zeigende Achse für die liebenden Individuen, die nach rechts zeigende für die geliebten.

Die 5×5-Beispielmatrizen veranschaulichen die Formeln für den Fall, dass fünf Individuen a,b,c,d,e als Liebende und Geliebte in Frage kommen.

Die Listen von 2×2- und 3×3-Matrizen dagegen sind nicht nur Beispiele, sondern zeigen für den Fall, dass zwei oder drei Individuen als Liebende und Geliebte in Frage kommen, genau die Bedeutung der Formeln: Von den 24=16 oder 29=512 denkbaren Fällen (wie zwei oder drei Personen sich lieben oder nicht lieben können) sind die Fälle rot markiert, für die Aussagen wie "Jemand liebt alle" wahr sind. (Die schwarzen Punkte   stehen für Einsen.)

Je zwei dieser 16- oder 512-Bit-Strings sind Komplementspiegelungen; d.h. als 4- oder 9-stellige Junktoren aufgefasst sind sie zueinander dual.



1  2

Beispielsatz Formel Beispielmatrix Beschreibung Liste 2×2 Liste 3×3
Einer liebt einen.  
∃1 ∃2
  12ne
Matrix ist nicht leer.
   
 
Jeder liebt jemanden.  
∀1 ∃2
  ∀2ne
Keine Zeile ist leer.
   
 
Jemand liebt alle.  
∃1 ∀2
  ∃2f
Eine Zeile ist voll.
   
 
Jeder liebt jeden.  
∀1 ∀2
  12f
Matrix ist voll.
   
 

2  1

Beispielsatz Formel Beispielmatrix Beschreibung Liste 2×2 Liste 3×3
Einer wird von einem geliebt.  
∃2 ∃1
  12ne
Matrix ist nicht leer.
   
 
Jeder wird von jemandem geliebt.  
∀2 ∃1
  ∀1ne
Keine Spalte ist leer.
   
 
Jemand wird von allen geliebt.  
∃2 ∀1
  ∃1f
Eine Spalte ist voll.
   
 
Jeder wird von jedem geliebt.  
∀2 ∀1
  12f
Matrix ist voll.
   
 


1=2

Beispielsatz Formel Beispielmatrix Beschreibung Liste 2×2 Liste 3×3
Jemand liebt sich selbst.  
∃12
  12diag ne
Diagonale ist nicht leer.
   
 
Alle lieben sich selbst.  
∀12
  12diag f
Diagonale ist voll.
   
 



Zwischen einigen prädikatenlogischen Aussagen bestehen Folgerungsbeziehungen:

         


Das linke Hasse-Diagramm mag kontraintuitiv wirken, da es unten "voller" zu sein scheint als oben.
Das liegt daran, dass die Matrizen nur beispielhafte Skizzen sind,
und nicht die mathematischen Objekte, zwischen denen die Halbordnungsbeziehung besteht.
In den beiden rechten Hasse-Diagrammen sieht man, dass folgende Beziehung gilt:
Aus einer prädikatenlogischen Aussage A folgt die prädikatenlogische Aussage B
g.d.w. die Menge aller Fälle in denen A wahr ist Teil der Menge aller Fälle ist, in denen B wahr ist.




Dreistellige Prädikate

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Mit einem dreistelligen Prädikat lassen sich 74 verschiedene Formeln bilden. Diese unterscheiden sich in ihrem Sinn.
Allerdings gibt es nur 2*A083355(3) = 46 verschiedene Bedeutungen die diese Formeln haben können.
Diese Bedeutungen sind hier durch 46 verschiedene Skizzen dreidimensionaler "logischer Tensoren" veranschaulicht,
die den Skizzen logischer Matrizen in diesem Hasse-Diagramm entsprechen.

Als Beispiel sei   das dreistellige Prädikat "x wünscht sich, dass y z liebt."

In den Tensorskizzen (Würfeln) steht die nach unten zeigende Achse (1) für die wünschenden Individuen,
die nach rechts zeigende (2) für die liebenden, und die nach hinten zeigende (3) für die geliebten.
Die Achsen sind mit Zahlen bezeichnet, weil Buchstaben in der Prädikatenlogik
bereits für Variablen (x,y,z) und Individuen (a,b,c...) verwendet werden.

Rechts von den Matrizen stehen abgekürzte Beschreibungen der Matrizen. In diesen steht f für full und ne für non empty.
12 steht für eine Scheibe in Richtung der Achsen 1 und 2 und 12diag für eine Flächendiagonale zwischen diesen Achsen, etc.

Unter den Formeln stehen graue Abkürzungen dieser Formeln, die hilfreich sein können, sich in der Matrix zurechtzufinden. Dabei ist die Permutation der Zahlen die Inverse der Permutation der Variablen hinter dem P.


Beispiele zu den Abkürzungen:

 
∀13ne   Alle 1-3-Ebenen sind nicht leer.

∀x ∃y ∃z Pyxz     ∀2 ∃1 ∃3     Zu allen 2en gibt es je eine 1 und zu denen je eine 3.
∀x ∃y ∃z Pzxy     ∀2 ∃3 ∃1     Zu allen 2en gibt es je eine 3 und zu denen je eine 1.
 
∃13f   Eine 1-3-Ebene ist voll.

∃x ∀y ∀z Pyxz     ∃2 ∀1 ∀3     Zu einer 2 gibt es alle 1en und zu denen alle 3en.
∃x ∀y ∀z Pzxy     ∃2 ∀3 ∀1     Zu einer 2 gibt es alle 3en und zu denen alle 1en.
 
in∀23 ∃2f   In allen 2-3-Ebenen ist eine 2-Gerade voll.

∀x ∃y ∀z Pxzy     ∀1 ∃3 ∀2     Zu allen 1en gibt es je eine 3 und zu denen alle 2en.
 
in12diag ∀3ne   In der 1-2-Diagonale sind alle 3-Geraden nicht leer.

∀x ∃y Pxxy     ∀12 ∃3     Zu allen 1-2 gibt es eine 3.
 
  Hasse-Diagramm der Implikationen (ohne Diagonalen)
 
Abkürzungen der logischen Tensoren



Tabellen:

Drei verschiedene Variablen
 
Zwei verschiedene Variablen
(Flächendiagonalen)
Nur eine Variable
(Raumdiagonale)

Pxyz (1 2 3)
Pxzy (1 3 2)
Pyxz (2 1 3)
Pzxy (2 3 1)
Pyzx (3 1 2)
Pzyx (3 2 1)
Auf einen Blick

Pxxy (12 3)
Pyyx (3 12)
Pxyx (13 2)
Pyxy (2 13)
Pyxx (23 1)
Pxyy (1 23)
Auf einen Blick

Pxxx (123)

(Lexikographisch geordnet nach den Permutationen der grauen Abkürzungen, nicht der Variablen.)



1  2  3

Beispielsatz Formel Matrix Beschreibung

Jemand wünscht jemandem
jemanden zu lieben.

 
∃1 ∃2 ∃3
  123ne

Alle wünschen jemandem
jemanden zu lieben.

 
∀1 ∃2 ∃3
  ∀23ne

Jemand wünscht allen
jemanden zu lieben.

 
∃1 ∀2 ∃3
  in∃23 ∀3ne

Jemand wünscht jemandem
alle zu lieben.

 
∃1 ∃2 ∀3
  ∃3f

Alle wünschen allen
jemanden zu lieben.

 
∀1 ∀2 ∃3
  ∀3ne

Alle wünschen jemandem
alle zu lieben.

 
∀1 ∃2 ∀3
  in∀23 ∃3f

Jemand wünscht allen
alle zu lieben.

 
∃1 ∀2 ∀3
  ∃23f

Alle wünschen allen
alle zu lieben.

 
∀1 ∀2 ∀3
  123f

1  3  2

Beispielsatz Formel Matrix Beschreibung

Jemand wünscht jemandem
von jemandem geliebt zu werden.

 
∃1 ∃3 ∃2
  123ne

Alle wünschen jemandem
von jemandem geliebt zu werden.

 
∀1 ∃3 ∃2
  ∀23ne

Jemand wünscht allen
von jemandem geliebt zu werden.

 
∃1 ∀3 ∃2
  in∃23 ∀2ne

Jemand wünscht jemandem
von allen geliebt zu werden.

 
∃1 ∃3 ∀2
  ∃2f

Alle wünschen allen
von jemandem geliebt zu werden.

 
∀1 ∀3 ∃2
  ∀2ne

Alle wünschen jemandem
von allen geliebt zu werden.

 
∀1 ∃3 ∀2
  in∀23 ∃2f

Jemand wünscht allen
von allen geliebt zu werden.

 
∃1 ∀3 ∀2
  ∃23f

Alle wünschen allen
von allen geliebt zu werden.

 
∀1 ∀3 ∀2
  123f

2  1  3

Beispielsatz Formel Matrix Beschreibung

Jemandem wird von jemandem gewünscht
jemanden zu lieben.

 
∃2 ∃1 ∃3
  123ne

Allen wird von jemandem gewünscht
jemanden zu lieben.

 
∀2 ∃1 ∃3
  ∀13ne

Jemandem wird von allen gewünscht
jemanden zu lieben.

 
∃2 ∀1 ∃3
  in∃13 ∀3ne

Jemandem wird von jemandem gewünscht
alle zu lieben.

 
∃2 ∃1 ∀3
  ∃3f

Allen wird von allen gewünscht
jemanden zu lieben.

 
∀2 ∀1 ∃3
  ∀3ne

Allen wird von jemandem gewünscht
alle zu lieben.

 
∀2 ∃1 ∀3
  in∀13 ∃3f

Jemandem wird von allen gewünscht
alle zu lieben.

 
∃2 ∀1 ∀3
  ∃13f

Allen wird von allen gewünscht
alle zu lieben.

 
∀2 ∀1 ∀3
  123f


2  3  1

Beispielsatz Formel Matrix Beschreibung

Jemandem wird jemanden zu lieben
von jemandem gewünscht.

 
∃2 ∃3 ∃1
  123ne

Allen wird jemanden zu lieben
von jemandem gewünscht.

 
∀2 ∃3 ∃1
  ∀13ne

Jemandem wird alle zu lieben
von jemandem gewünscht.

 
∃2 ∀3 ∃1
  in∃13 ∀1ne

Jemandem wird jemanden zu lieben
von allen gewünscht.

 
∃2 ∃3 ∀1
  ∃1f

Allen wird alle zu lieben
von jemandem gewünscht.

 
∀2 ∀3 ∃1
  ∀1ne

Allen wird jemanden zu lieben
von allen gewünscht.

 
∀2 ∃3 ∀1
  in∀13 ∃1f

Jemandem wird alle zu lieben
von allen gewünscht.

 
∃2 ∀3 ∀1
  ∃13f

Allen wird alle zu lieben
von allen gewünscht.

 
∀2 ∀3 ∀1
  123f

3  1  2

Beispielsatz Formel Matrix Beschreibung

Jemandem wird von jemandem gewünscht
von jemandem geliebt zu werden.

 
∃3 ∃1 ∃2
  123ne

Allen wird von jemandem gewünscht
von jemandem geliebt zu werden.

 
∀3 ∃1 ∃2
  ∀12ne

Jemandem wird von allen gewünscht
von jemandem geliebt zu werden.

 
∃3 ∀1 ∃2
  in∃12 ∀2ne

Jemandem wird von jemandem gewünscht
von allen geliebt zu werden.

 
∃3 ∃1 ∀2
  ∃2f

Allen wird von allen gewünscht
von jemandem geliebt zu werden.

 
∀3 ∀1 ∃2
  ∀2ne

Allen wird von jemandem gewünscht
von allen geliebt zu werden.

 
∀3 ∃1 ∀2
  in∀12 ∃2f

Jemandem wird von allen gewünscht
von allen geliebt zu werden.

 
∃3 ∀1 ∀2
  ∃12f

Allen wird von allen gewünscht
von allen geliebt zu werden.

 
∀3 ∀1 ∀2
  123f


3  2  1

Beispielsatz Formel Matrix Beschreibung

Jemandem wird
von jemandem geliebt zu werden
von jemandem gewünscht.

 
∃3 ∃2 ∃1
  123ne

Allen wird
von jemandem geliebt zu werden
von jemandem gewünscht.

 
∀3 ∃2 ∃1
  ∀12ne

Jemandem wird
von allen geliebt zu werden
von jemandem gewünscht.

 
∃3 ∀2 ∃1
  in∃12 ∀1ne

Jemandem wird
von jemandem geliebt zu werden
von allen gewünscht.

 
∃3 ∃2 ∀1
  ∃1f

Allen wird
von allen geliebt zu werden
von jemandem gewünscht.

 
∀3 ∀2 ∃1
  ∀1ne

Allen wird
von jemandem geliebt zu werden
von allen gewünscht.

 
∀3 ∃2 ∀1
  in∀12 ∃1f

Jemandem wird
von allen geliebt zu werden
von allen gewünscht.

 
∃3 ∀2 ∀1
  ∃12f

Allen wird
von allen geliebt zu werden
von allen gewünscht.

 
∀3 ∀2 ∀1
  123f


 
  Nochmal das Hasse-Diagramm
Man sieht, dass seine „Etagen“ denen der Tabelle entsprechen.

Auf einen Blick
Die zur Formel gehörigen Beispielsätze erscheinen, wenn man die Maus auf die Matrix hält.

 
1 2 3
 
1 3 2
 
2 1 3
 
2 3 1
 
3 1 2
 
3 2 1
             
             
             
             
             
             
             
             



1=2  3

Beispielsatz Formel Matrix Beschreibung
Jemand wünscht sich
jemanden zu lieben.
 
∃12 ∃3
  12diag ne
Alle wünschen sich
jemanden zu lieben.
 
∀12 ∃3
  in12diag ∀3ne
Jemand wünscht sich
alle zu lieben.
 
∃12 ∀3
  in12diag ∃3f
Alle wünschen sich
alle zu lieben.
 
∀12 ∀3
  12diag f

3  1=2

Beispielsatz Formel Matrix Beschreibung
Jemanden will jemand lieben.  
∃3 ∃12
  12diag ne
Jeden will jemand lieben.
(Zu jedem x gibt es ein y
das x lieben will.)
 
∀3 ∃12
  in12diag ∀12ne
Jemanden will jeder lieben.
(Es gibt ein x
das alle y lieben wollen.)
 
∃3 ∀12
  in12diag ∃12f
Jeden will jeder lieben.  
∀3 ∀12
  12diag f

1=3  2

Beispielsatz Formel Matrix Beschreibung
Jemand wünscht sich
von jemandem geliebt zu werden.
 
∃13 ∃2
  13diag ne
Alle wünschen sich
von jemandem geliebt zu werden.
 
∀13 ∃2
  in13diag ∀2ne
Jemand wünscht sich
von allen geliebt zu werden.
 
∃13 ∀2
  in13diag ∃2f
Alle wünschen sich
von allen geliebt zu werden.
 
∀13 ∀2
  13diag f

2  1=3

Beispielsatz Formel Matrix Beschreibung
Von jemandem will jemand geliebt werden.  
∃2 ∃13
  13diag ne
Von allen will jemand geliebt werden.
(Zu jedem x gibt es ein y
das von x geliebt werden will.)
 
∀2 ∃13
  in13diag ∀13ne
Von jemandem wollen alle geliebt werden.
(Es gibt ein x
von dem alle y geliebt werden wollen.)
 
∃2 ∀13
  in13diag ∃13f
Von allen wollen alle geliebt werden.  
∀2 ∀13
  13diag f

2=3  1

Beispielsatz Formel Matrix Beschreibung
Jemandem wird von jemandem gewünscht
sich zu lieben.
 
∃23 ∃1
  23diag ne
Allen wird von jemandem gewünscht
sich zu lieben.
 
∀23 ∃1
  in23diag ∀1ne
Jemandem wird von allen gewünscht
sich zu lieben.
 
∃23 ∀1
  in23diag ∃1f
Allen wird von allen gewünscht
sich zu lieben.
 
∀23 ∀1
  23diag f

1  2=3

Beispielsatz Formel Matrix Beschreibung
Jemand wünscht jemandem
sich zu lieben.
 
∃1 ∃23
  23diag ne
Alle wünschen jemandem
sich zu lieben.
 
∀1 ∃23
  in23diag ∀23ne
Jemand wünscht allen
sich zu lieben.
 
∃1 ∀23
  in23diag ∃23f
Alle wünschen allen
sich zu lieben.
 
∀1 ∀23
  23diag f

Auf einen Blick
Die zur Formel gehörigen Beispielsätze erscheinen, wenn man die Maus auf die Matrix hält.

 
12 3
 
3 12
 
13 2
 
2 13
 
23 1
 
1 23
             
             
             
             


1=2=3

Beispielsatz Formel Matrix Beschreibung
Jemand will sich lieben.  
∃123
  123diag ne
Alle wollen sich lieben.  
∀123
  123diag f