Prädikatenlogische Formeln
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Zweistellige Prädikate
BearbeitenMit einem zweistelligen Prädikat lassen sich 10 verschiedene Formeln bilden. Diese unterscheiden sich in ihrem Sinn.
Allerdings gibt es nur 2*A083355(2) = 8 verschiedene Bedeutungen die diese Formeln haben können. (Vgl. Sinn und Bedeutung)
Man beachte, dass es in der Mathematik nicht um Sinn sondern um Bedeutung geht. Formeln mit gleicher Bedeutung sind austauschbar.
Als Beispiel sei das zweistellige Prädikat "x liebt y."
In den Matrizen der Relationen steht die nach unten zeigende Achse für die liebenden Individuen, die nach rechts zeigende für die geliebten.
Die 5×5-Beispielmatrizen veranschaulichen die Formeln für den Fall, dass fünf Individuen a,b,c,d,e als Liebende und Geliebte in Frage kommen.
Die Listen von 2×2- und 3×3-Matrizen dagegen sind nicht nur Beispiele, sondern zeigen für den Fall, dass zwei oder drei Individuen als Liebende und Geliebte in Frage kommen, genau die Bedeutung der Formeln: Von den 24=16 oder 29=512 denkbaren Fällen (wie zwei oder drei Personen sich lieben oder nicht lieben können) sind die Fälle rot markiert, für die Aussagen wie "Jemand liebt alle" wahr sind. (Die schwarzen Punkte stehen für Einsen.)
Je zwei dieser 16- oder 512-Bit-Strings sind Komplementspiegelungen; d.h. als 4- oder 9-stellige Junktoren aufgefasst sind sie zueinander dual.
1 2
2 1
1=2
Beispielsatz | Formel | Beispielmatrix | Beschreibung | Liste 2×2 | Liste 3×3 |
---|---|---|---|---|---|
Jemand liebt sich selbst. | ∃12 |
12diag ne Diagonale ist nicht leer. |
| ||
Alle lieben sich selbst. | ∀12 |
12diag f Diagonale ist voll. |
|
Zwischen einigen prädikatenlogischen Aussagen bestehen Folgerungsbeziehungen:
Das linke Hasse-Diagramm mag kontraintuitiv wirken, da es unten "voller" zu sein scheint als oben.
Das liegt daran, dass die Matrizen nur beispielhafte Skizzen sind,
und nicht die mathematischen Objekte, zwischen denen die Halbordnungsbeziehung besteht.
In den beiden rechten Hasse-Diagrammen sieht man, dass folgende Beziehung gilt:
Aus einer prädikatenlogischen Aussage A folgt die prädikatenlogische Aussage B
g.d.w. die Menge aller Fälle in denen A wahr ist Teil der Menge aller Fälle ist, in denen B wahr ist.
Dreistellige Prädikate
BearbeitenMit einem dreistelligen Prädikat lassen sich 74 verschiedene Formeln bilden. Diese unterscheiden sich in ihrem Sinn.
Allerdings gibt es nur 2*A083355(3) = 46 verschiedene Bedeutungen die diese Formeln haben können.
Diese Bedeutungen sind hier durch 46 verschiedene Skizzen dreidimensionaler "logischer Tensoren" veranschaulicht,
die den Skizzen logischer Matrizen in diesem Hasse-Diagramm entsprechen.
Als Beispiel sei das dreistellige Prädikat "x wünscht sich, dass y z liebt."
In den Tensorskizzen (Würfeln) steht die nach unten zeigende Achse (1) für die wünschenden Individuen,
die nach rechts zeigende (2) für die liebenden, und die nach hinten zeigende (3) für die geliebten.
Die Achsen sind mit Zahlen bezeichnet, weil Buchstaben in der Prädikatenlogik
bereits für Variablen (x,y,z) und Individuen (a,b,c...) verwendet werden.
Rechts von den Matrizen stehen abgekürzte Beschreibungen der Matrizen. In diesen steht f für full und ne für non empty.
12 steht für eine Scheibe in Richtung der Achsen 1 und 2 und 12diag für eine Flächendiagonale zwischen diesen Achsen, etc.
Unter den Formeln stehen graue Abkürzungen dieser Formeln, die hilfreich sein können, sich in der Matrix zurechtzufinden. Dabei ist die Permutation der Zahlen die Inverse der Permutation der Variablen hinter dem P.
Beispiele zu den Abkürzungen:
Tabellen:
Drei verschiedene Variablen |
Zwei verschiedene Variablen (Flächendiagonalen) |
Nur eine Variable (Raumdiagonale) |
---|---|---|
Pxyz (1 2 3) |
Pxxy (12 3) |
(Lexikographisch geordnet nach den Permutationen der grauen Abkürzungen, nicht der Variablen.)
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
Auf einen Blick
Die zur Formel gehörigen Beispielsätze erscheinen, wenn man die Maus auf die Matrix hält.
1 2 3 |
1 3 2 |
2 1 3 |
2 3 1 |
3 1 2 |
3 2 1 | |
---|---|---|---|---|---|---|
1=2 3
3 1=2
1=3 2
2 1=3
2=3 1