Präring/Äußeres Maß/Definition

Äußeres Maß

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$. Dann heißt eine Abbildung

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0},\,T\longmapsto \mu (T),$

ein äußeres Maß auf ${}M$, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

1. Für je zwei Mengen ${}S,T\in {\mathcal {P}}$ mit ${}S\subseteq T$ gilt ${}\mu (S)\leq \mu (T)$.
2. Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen ${}T_{i}$, ${}i\in I$, aus ${}{\mathcal {P}}$, für die ${}\bigcup _{i\in I}T_{i}$ ebenfalls zu ${}{\mathcal {P}}$ gehört, gilt

   ${}\mu {\left(\bigcup _{i\in I}T_{i}\right)}\leq \sum _{i\in I}\mu {\left(T_{i}\right)}\,.$