Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung/Zerlegungseigenschaft/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Sei

${\mathcal {Z}}={\left\{Z\subseteq M\mid Z{\text{ besitzt die Zerlegungseigenschaft}}\right\}}\,.$

Offensichtlich gehört ${}M$ zu ${}{\mathcal {Z}}$ und dieses System ist abgeschlossen unter Komplementbildung.   Bevor wir zeigen können, dass ${}{\mathcal {Z}}$ unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist, zeigen wir, dass dies für endliche Vereinigungen gilt. Es seien also ${}Z_{1}$ und ${}Z_{2}$ aus ${}{\mathcal {Z}}$ und sei ${}S\subseteq M$ eine beliebige Teilmenge. Dann ist

${}{\begin{aligned}{\tilde {\mu }}(S)&={\tilde {\mu }}(S\cap Z_{1})+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z_{1}))\\&={\tilde {\mu }}(S\cap Z_{1})+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z_{1})\cap Z_{2})+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z_{1})\cap (M\setminus Z_{2}))\\&={\tilde {\mu }}(S\cap Z_{1})+{\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{2}\setminus Z_{1}))+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus (Z_{1}\cup Z_{2})))\\&={\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{1}\cup Z_{2})\cap Z_{1})+{\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{1}\cup Z_{2})\cap (M\setminus Z_{1}))+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus (Z_{1}\cup Z_{2})))\\&={\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{1}\cup Z_{2}))+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus (Z_{1}\cup Z_{2}))).\end{aligned}}$  

Damit ist ${}{\mathcal {Z}}$ auch unter endlichen Vereinigungen abgeschlossen und somit liegt insgesamt eine Mengen-Algebra vor.
Es sei nun ${}Z_{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, eine abzählbare Familie aus ${}{\mathcal {Z}}$. Wir wissen, dass die Teilmengen ${}Z_{n}\setminus (Z_{1}\cup \ldots \cup Z_{n-1})$ zu ${}{\mathcal {Z}}$ gehören. Deren Vereinigung ist gleich der Vereinigung der ${}Z_{n}$, sodass wir annehmen können, dass die ${}Z_{n}$ paarweise disjunkt sind. Wegen der Disjunktheit ergibt sich induktiv für eine beliebige Teilmenge ${}S\subseteq M$

${}{\begin{aligned}{\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{1}\cup \ldots \cup Z_{n}))&={\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{1}\cup \ldots \cup Z_{n})\cap Z_{1})+{\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{1}\cup \ldots \cup Z_{n})\cap (M\setminus Z_{1}))\\&={\tilde {\mu }}(S\cap Z_{1})+{\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{2}\cup \ldots \cup Z_{n}))\\&={\tilde {\mu }}(S\cap Z_{1})+{\tilde {\mu }}(S\cap Z_{2})+{\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{3}\cup \ldots \cup Z_{n}))\\&={\tilde {\mu }}(S\cap Z_{1})+{\tilde {\mu }}(S\cap Z_{2})+\cdots +{\tilde {\mu }}(S\cap Z_{n}).\end{aligned}}$

Daraus ergibt sich unter Verwendung der Zerlegungseigenschaft von ${}Z_{1}\cup \ldots \cup Z_{n}$ und der Monotonie des äußeren Maßes die Abschätzung

${}{\begin{aligned}{\tilde {\mu }}(S)&={\tilde {\mu }}(S\cap (Z_{1}\cup \ldots \cup Z_{n}))+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus (Z_{1}\cup \ldots \cup Z_{n})))\\&\geq {\tilde {\mu }}(S\cap Z_{1})+{\tilde {\mu }}(S\cap Z_{2})+\cdots +{\tilde {\mu }}(S\cap Z_{n})+{\tilde {\mu }}{\left(S\cap {\left(M\setminus {\left(\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{+}}Z_{k}\right)}\right)}\right)}.\end{aligned}}$

Da dies für alle ${}n$ gilt, und da ein äußeres Maß vorliegt, folgt

${}{\begin{aligned}{\tilde {\mu }}(S)&\geq \sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\tilde {\mu }}(S\cap Z_{n})+{\tilde {\mu }}{\left(S\cap {\left(M\setminus {\left(\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{+}}Z_{k}\right)}\right)}\right)}\\&\geq {\tilde {\mu }}(S\cap \bigcup _{k\in \mathbb {N} _{+}}Z_{k})+{\tilde {\mu }}{\left(S\cap {\left(M\setminus {\left(\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{+}}Z_{k}\right)}\right)}\right)}.\end{aligned}}$

Da die umgekehrte Abschätzung sowieso gilt, haben wir die gewünschte Gleichheit.
(2). Für paarweise disjunkte Mengen ${}Z_{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, aus ${}{\mathcal {Z}}$ ist, wie unter (1) bewiesen,

${}{\tilde {\mu }}(Z_{1})+\cdots +{\tilde {\mu }}(Z_{n})={\tilde {\mu }}(Z_{1}\cup \ldots \cup Z_{n})\leq {\tilde {\mu }}{\left(\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{+}}Z_{k}\right)}\,.$

Da dies für alle ${}n$ gilt, folgt

${}\sum _{k\in \mathbb {N} _{+}}{\tilde {\mu }}(Z_{k})\leq {\tilde {\mu }}{\left(\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{+}}Z_{k}\right)}\,.$

Da auch die umgekehrte Abschätzung gilt, liegt Gleichheit vor.

Zur bewiesenen Aussage