Es sei
und
.
Es sei
,
,
eine abzählbare Überpflasterung von
mit Mengen aus
. Die Durchschnitte
,
,
bzw.
,
,
sind Überpflasterungen von
bzw. von
.
Für jedes
gilt
,
da ein Prämaß vorliegt. Daher ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{i\in I}\mu (S_{i})&=\sum _{i\in I}\mu (S_{i}\cap Z)+\sum _{i\in I}\mu (S_{i}\cap (M\setminus Z))\\&\geq {\tilde {\mu }}(S\cap Z)+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z)).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c490386d8580bc23484fbbd368ebbdbbc2462ce)
Da dies für alle Überpflasterungen gilt, folgt
-
![{\displaystyle {}{\tilde {\mu }}(S)\geq {\tilde {\mu }}(S\cap Z)+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z))\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1df98a50ac725fc3ba760f7ba9705677f0ba690)
Da auch die umgekehrte Abschätzung gilt, liegt Gleichheit vor.