Präring/Prämaß/Fortsetzung/Haben Zerlegungseigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}Z\in {\mathcal {P}}$ und ${}S\subseteq M$. Es sei ${}S_{i}$, ${}i\in I$, eine abzählbare Überpflasterung von ${}S$ mit Mengen aus ${}{\mathcal {P}}$. Die Durchschnitte ${}S_{i}\cap Z$, ${}i\in I$, bzw. ${}S_{i}\cap (M\setminus Z)$, ${}i\in I$, sind Überpflasterungen von ${}S\cap Z$ bzw. von ${}S\cap (M\setminus Z)$. Für jedes ${}S_{i}$ gilt ${}\mu (S_{i})=\mu (S_{i}\cap Z)+\mu (S_{i}\cap (M\setminus Z))$, da ein Prämaß vorliegt. Daher ist

${}{\begin{aligned}\sum _{i\in I}\mu (S_{i})&=\sum _{i\in I}\mu (S_{i}\cap Z)+\sum _{i\in I}\mu (S_{i}\cap (M\setminus Z))\\&\geq {\tilde {\mu }}(S\cap Z)+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z)).\end{aligned}}$

Da dies für alle Überpflasterungen gilt, folgt

${}{\tilde {\mu }}(S)\geq {\tilde {\mu }}(S\cap Z)+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z))\,.$

Da auch die umgekehrte Abschätzung gilt, liegt Gleichheit vor.

Zur bewiesenen Aussage