Primäre Syzygie/3 Erzeuger/Quotientenabbildung/Bemerkung

Zu Elementen ${}f_{1},f_{2},f_{3}\in R$ in einem lokalen zweidimensionalen Ring und einer primären Syzygie ${}(g_{1},g_{2},g_{3})$ gehört die Abbildung

$R\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(f_{1},f_{2},f_{3}\right)}$

und die Abbildung

$\operatorname {Syz} {\left(f_{1},f_{2},f_{3}\right)}\longrightarrow R,\,(h_{1},h_{2},h_{3})\longmapsto {\frac {-h_{2}g_{3}+h_{3}g_{2}}{f_{1}}}.$

Wenn ${}f_{1},f_{2}$ Parameter sind und ${}f\in R$ mit der zugehörigen Kohomologieklasse ${}\left({\frac {f}{f_{1}}},\,-{\frac {f}{f_{2}}},\,0\right)$, so wird dies auf ${}{\frac {-fg_{3}}{f_{1}f_{2}}}$ abgebildet.