Primfaktorzerlegung/Erweiterungen/Motivation/Textabschnitt

In den ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ gilt die eindeutige Primfaktorzerlegung, d.h. jede ganze Zahl ${}n\neq 0$ lässt sich als ein (bei einer negativen Zahl braucht man noch das Vorzeichen ${}-1$) Produkt von (positiven) Primzahlen schreiben, wobei die Anzahl der auftretenden Primzahlen, die Primfaktoren, eindeutig bestimmt ist. Beispielsweise ist

${}175=5\cdot 5\cdot 7=5\cdot 7\cdot 5=5^{2}\cdot 7\,.$

Für eine Primzahl ist diese Faktorzerlegung einfach die Zahl selbst. In einem größeren Ring, beispielsweise einem Körper, ergeben sich neue Darstellungsmöglichkeiten. Es ist in ${}\mathbb {R}$

${}7={\frac {7}{5}}\cdot 5=7\cdot 5^{-1}\cdot 5=7\cdot \pi ^{-1}\pi \,.$

Das sind natürlich Uneindeutigkeiten, die sich einfach daraus ergeben, dass es Elemente gibt, die ein Inverses besitzen. Wenn man an ${}7=(-1)(-7)$ denkt, gibt es dieses Phänomen schon in ${}\mathbb {Z}$. Wir halten kurz die folgende Definition fest.

Definition

Ein Element ${}u$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit ${}uv=1$ gibt.

In ${}\mathbb {Z}$ sind nur ${}1$ und ${}-1$ Einheiten, der Einfluss auf die Teilbarkeitstheorie ist daher sehr überschaubar. Ein kommutativer Ring ist genau dann ein Körper, wenn in ihm jedes von ${}0$ verschiedene Element eine Einheit ist (der Nullring ist kein Körper, da in ihm sogar die ${}0$ eine Einheit ist). Deshalb gibt es in einem Körper keine aussagekräftige Teilbarkeitstheorie. Ein anderes Phänomen sind die Faktorzerlegungen

${}7={\sqrt {7}}\cdot {\sqrt {7}}={\sqrt[{3}]{7}}\cdot {\sqrt[{3}]{7}}\cdot {\sqrt[{3}]{7}}={\sqrt[{4}]{7}}\cdot {\sqrt[{4}]{7}}\cdot {\sqrt[{4}]{7}}\cdot {\sqrt[{4}]{7}}\,.$

In diesem Sinne kann man beliebig weitermachen, es gibt dann für die Zahl ${}7$ beliebig lange zunehmend feinere Zerlegungen - aber keine Primfaktorzerlegung.

Betrachten wir genauer die Zerlegung

${}7={\sqrt {7}}\cdot {\sqrt {7}}\,.$

Diese hat nichts mit Einheiten zu tun, sondern allein mit der Existenz der Quadratwurzel (oder in den weiteren Fällen mit der Existenz der dritten oder vierten Wurzel) der ${}7$. Um eine solche Faktorzerlegung hinzuschreiben, braucht man nicht die vollen reellen Zahlen, sondern eben nur diese Wurzeln. Um die erste Gleichung ausdrücken zu können, braucht man nur das neue Element ${}{\sqrt {7}}$ mit der charakteristischen Eigenschaft, dass das Produkt mit sich selbst gleich ${}7$ ist. Doch allein diese Hinzunahme, also die Mengen ${}\mathbb {N} \cup \{{\sqrt {7}}\}$ bzw. ${}\mathbb {Z} \cup \{\pm {\sqrt {7}}\}$ liefert keine sinnvolle algebraische Struktur, da darin weder die Multiplikation ${}4\cdot {\sqrt {7}}$ noch die Addition ${}4+{\sqrt {7}}$ definiert ist. Da verliert man also viel zu viel. Man möchte „nur“ die Quadratwurzel aus ${}7$ hinzutun, aber gleichzeitig sinnvolle algebraische Strukturen erhalten. Mit ${}{\sqrt {7}}$ muss dann auch beispielsweise ${}13-22{\sqrt {7}}$ drin sein. Zahlen von dieser Form sind offenbar additiv abgeschlossen und sind aber auch multiplikativ abgeschlossen, es gilt ja

${}{\left(a+b{\sqrt {7}}\right)}{\left(c+d{\sqrt {7}}\right)}={\left(ac+7bd\right)}+{\left(ad+bc\right)}{\sqrt {7}}\,$

für beliebige ${}a,b,c,d\in \mathbb {Z}$. Diese Zahlen bilden also wieder einen kommutativen Ring, und zwar kann man ihn als Unterring der reellen Zahlen realisieren, weshalb die Assoziativität der Verknüpfungen direkt erfüllt ist. Wir haben also eine Ringerweiterung

${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt {7}}]=\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\sqrt {7}}={\left\{a+b{\sqrt {7}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}=:R\,,$

wobei die ganzen Zahlen den Summen ${}a+b{\sqrt {7}}$ mit ${}b=0$ entsprechen, wobei die Addition in ${}R$ komponentenweise und die Multiplikation wie in ${}\mathbb {R}$ bzw. explizit wie oben bzw. distributiv unter Verwendung der einzigen relevanten Regel

${}{\sqrt {7}}\cdot {\sqrt {7}}=7\,$

erklärt ist. Die Darstellung ${}a+b{\sqrt {7}}$ eines Elementes aus ${}R$ ist ferner eindeutig, d.h. ${}a+b{\sqrt {7}}=a'+b'{\sqrt {7}}$ ist nur bei

${}a=a'\,$

und

${}b=b'\,$

möglich. Anderfalls hätte man eine Gleichung

${}r=s{\sqrt {7}}\,$

mit ${}r,s\in \mathbb {Z}$ ${}r,s\neq 0$, woraus sich

${}{\sqrt {7}}={\frac {r}{s}}\,$

im Widerspruch zur Irrationalität von Quadratwurzeln auf Primzahlen ergibt, die aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung in ${}\mathbb {Z}$ folgt, siehe Aufgabe. (der Spezialfall, die Irrationalität der Quadratwurzel aus ${}2$, ist ein typisches Beispiel für einen Widerspruchsbeweis aus den Anfängervorlesungen, siehe Fakt).

Aufgrund der definierenden Gleichung sieht man direkt, dass ${}7$ in ${}R$ nicht mehr prim ist, sondern nichttriviale Teiler, nämlich ${}{\sqrt {7}}$ besitzt, wobei wir aber die exakten Definitionen noch nicht fixiert haben. Zunächst muss man sich klar machen, dass ${}7$ (und ${}{\sqrt {7}}$) keine Einheit in ${}R$ wird. Dies kann man aber wegen

${}7(a+b{\sqrt {7}})=7a+7b{\sqrt {7}}=1\,$

sofort ausschließen. Was aber keineswegs klar ist, ob es in ${}R$ weitere Faktorzerlegungen für ${}7$ gibt, ob ${}{\sqrt {7}}$ prim ist, ob es neue Einheiten in ${}R$ gibt, wie sich die Existenz von ${}{\sqrt {7}}$ auf die Faktorzerlegung von anderen ganzen Zahlen auswirkt. Um Zerlegungsphänome von der Bauart

${}7=u(u^{-1}7)\,$

mit einer Einheit ${}u$ auszuschließen bzw. zu erkennen, müssen wir zuerst wissen, ob in ${}R$ neue Einheiten dazukommen. Mit dem Argument von eben kann man direkt einsehen, dass ganze Zahlen ${}\neq 1,-1$ in ${}R$ Nichteinheiten bleiben. Es gibt aber in der Tat eine Vielzahl von neuen Einheiten! Betrachten wir in ${}R$ die Gleichung

${}(8+3{\sqrt {7}})(8-3{\sqrt {7}})=64-9\cdot 7=1\,,$

die ja besagt, dass die beiden Elemente ${}8+3{\sqrt {7}}$ und ${}8-3{\sqrt {7}}$ zueinander invers sind und damit Einheiten sind. Damit sind auch alle Zahlen der Form ${}\pm {\left(8+3{\sqrt {7}}\right)}^{n}$ (mit ${}n\in \mathbb {Z}$) Einheiten, und das sind alle Einheiten von ${}R$. Die Existenz von Einheiten erschwert die Entscheidung, ob eine Faktorzerlegung auf Einheiten beruht oder auf eine Zerlegung in substantiell grundlegendere Bestandteile. Handelt es sich beispielsweise bei

${}(5+4{\sqrt {7}})(-5+4{\sqrt {7}})=-25+16\cdot 7=-25+112=87=3\cdot 29\,$

um zwei wesentlich verschiedene Faktorzerlegungen der ${}87$ in ${}R$? Hier haben wir schon zum zweiten Mal die dritte binomische Formel ausgenutzt, um durch eine Multiplikation von zwei Zahlen aus ${}R$ wieder in ${}\mathbb {Z}$ zu landen. Wegen

${}3=(2+{\sqrt {7}})(-2+{\sqrt {7}})\,$

kann man aber die ${}3$ weiter zerlegen. Der erste Faktor kommt auch in der Zerlegung

${}5+4{\sqrt {7}}=(2+{\sqrt {7}})(6-{\sqrt {7}})\,$

vor. In der verfeinerten Zerlegung

${}87=(2+{\sqrt {7}})(-2+{\sqrt {7}})(6-{\sqrt {7}})(6+{\sqrt {7}})\,$

kommen somit beide obigen Zerlegungen vor, die sich daher als keine Primfaktorzerlegung erweisen. Das ist also wie bei

${}210=6\cdot 35=10\cdot 21=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\,,$

allerdings mit dem Unterschied, dass es in ${}R$ zunächst einmal keine systematische Methode gibt, Zahlen auf die Primeigenschaft zu überprüfen.

Eine wichtige Fragestellung der algebraischen Zahlentheorie ist, wie sich Teilereigenschaften und die Primfaktorzerlegungen von ${}\mathbb {Z}$ ändern, wenn man zusätzliche Elemente hinzunimmt. Typischerweise werden dabei die Primfaktorzerlegungen zerstört, es entstehen aber neue Faktorzerlegungen (nicht unbedingt Primfaktorzerlegungen), die selbst wieder zahlentheoretischen Sachverhalte ausdrücken und sichtbar machen.