Primideal/Vermeidung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über ${}n$. Bei ${}n=1$ ist die Aussage trivial. Es sei die Aussage für ${}n$ Primideale bewiesen, und seien ${}n+1$ Primideale gegeben. Für jedes ${}i$ können wir annehmen, dass ${}{\mathfrak {a}}\not \subseteq \bigcup _{j\neq i}{\mathfrak {p}}_{j}$ ist, da andernfalls die Aussage nach Induktionsvoraussetzung bewiesen ist. Demnach gibt es jeweils ein ${}f_{i}\in {\mathfrak {a}}$ mit ${}f_{i}\notin \bigcup _{j\neq i}{\mathfrak {p}}_{j}$. Dann muss insbesondere ${}f_{i}\in {\mathfrak {p}}_{i}$ sein. Das Element ${}f_{1}+f_{2}f_{3}\cdots f_{n+1}$ gehört zu ${}{\mathfrak {a}}$ und damit ist auch ${}f_{1}+f_{2}f_{3}\cdots f_{n+1}\in {\mathfrak {p}}_{i}$ für ein ${}i$. Dies ist aber sowohl bei ${}i=1$ als auch bei ${}i\geq 2$ ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage