Primideal/Vermeidung/Zwei Ideale/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über ${}n$, bei ${}n=0$ ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei die Aussage für ${}n$ Primideale bewiesen, und seien ${}n+1$ Primideale gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung ist

${}{\mathfrak {a}}\not \subseteq {\mathfrak {b}}\cup \bigcup _{j=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{j}\,,$

sei ${}f\in {\mathfrak {a}}$ und ${}f\notin {\mathfrak {b}}\cup {\mathfrak {p}}_{1}\cup \ldots \cup {\mathfrak {p}}_{n}$. Bei

${}f\notin {\mathfrak {p}}_{n+1}\,$

sind wir fertig, sei also ${}f\in {\mathfrak {p}}_{n+1}$. Wäre

${}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {p}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{n}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}\,,$

so würde nach Aufgabe ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}$ oder ${}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}$ oder ${}{\mathfrak {p}}_{i}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}$ für ein ${}i\leq n$ gelten. In diesen Fällen wären wir aufgrund der Induktionsvoraussetzung fertig. Also ist

${}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {p}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{n}\not \subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}\,,$

sei ${}g\in {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {p}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{n}$ und ${}g\notin {\mathfrak {p}}_{n+1}$. Dann ist ${}f+g\in {\mathfrak {a}}$ und ${}f+g\notin {\mathfrak {b}}\cup \bigcup _{i=1}^{n+1}{\mathfrak {p}}_{i}$.

Zur bewiesenen Aussage