Primzahl/p^n Einheitswurzeln/Körpereigenschaften/Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Wir betrachten die Körperkette der Kreisteilungskörper

${}\mathbb {Q} \subseteq K_{p}\subseteq K_{p^{2}}\subseteq K_{p^{3}}\subseteq \ldots \,.$

Es sei

${}L_{p}:=\bigcup _{r\in \mathbb {N} }K_{p^{r}}\,.$

1. Zeige, dass ${}L$ ein Körper ist.
2. Zeige, dass die Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ algebraisch, aber nicht endlich ist.
3. Für welche Primzahlen ${}p$ besteht ${}L_{p}$ nur aus konstruierbaren Zahlen?

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