Primzahlen/Abstand 10/Aufgabe/Lösung

1. Die Zahlen ${}3,13,23$ sind Primzahlen.
2. Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Tripel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von ${}x,x+10,x+20$ bei Division durch ${}3$. Wenn ${}r$ der Rest von ${}x$ ist, so sind die beiden anderen Reste gleich ${}r+1$ bzw. ${}r+2$. Somit muss eine der drei Zahlen den Rest ${}0$ besitzen, also ein Vielfaches von ${}3$ sein. Da ${}x=3$ ausgeschlossen ist, können nicht alle drei Zahlen Primzahlen sein.

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