Primzahlen/Abstand 6/Aufgabe/Lösung

1. Die Zahlen ${}5,11,17,23,29$ sind Primzahlen.
2. Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Fünfertupel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von ${}x,x+6,x+12,x+18,x+24$ bei Division durch ${}5$. Wenn ${}r$ der Rest von ${}x$ ist, so sind die anderen Reste gleich ${}r+1,r+2,r+3,r+4$. Somit muss eine der fünf Zahlen den Rest ${}0$ besitzen, also ein Vielfaches von ${}5$ sein. Da ${}x=5$ ausgeschlossen ist, können nicht alle fünf Zahlen Primzahlen sein.
3. Die Zahlen ${}41,47,53,59$ sind Primzahlen, es gibt also weitere Vierertupel mit der besagten Eigenschaft.

Zur gelösten Aufgabe