Primzahlen/Offene Probleme/Goldbach Mersenne Germain/Einführung/Textabschnitt

Das Goldbach-Problem

Problem

Gibt es für jede gerade natürliche Zahl ${}n\geq 4$ Primzahlen ${}p$ und ${}q$ mit

${}n=p+q\,?$

Die Frage ist also, ob man jede gerade natürliche Zahl ab ${}4$ als Summe von zwei Primzahlen schreiben kann. Dies kann wahr oder falsch sein, diese Eigenschaft kann gelten oder nicht. Bisher ist es aber niemandem gelungen, diese Eigenschaft zu beweisen oder zu widerlegen. Man spricht von einem offenen Problem. Die sogenannte Goldbachsche Vermutung besagt, dass dieses Problem eine positive Antwort besitzt. Es ist eine treibende Kraft in der Mathematik, eine Vermutung zu bestätigen (zu beweisen) oder zu widerlegen.

Für jede gegebene gerade Zahl ${}n\geq 4$ lässt sich in endlich vielen Schritten entscheiden, ob sie eine Summe von zwei Primzahlen ist. Dazu überprüft man einfach der Reihe nach die ungeraden Zahlen ${}k<n$, ob sie und der komplementäre Summand${}n-k$ Primzahlen sind. Falls es ein solches Paar ${}(k,n-k)$ gibt, hat man die Goldbacheigenschaft für diese eine Zahl ${}n$ bestätigt. Für alle geraden Zahlen ${}n\geq 4$, für die diese Eigenschaft überprüft wurde, hat man stets solche Primsummanden gefunden. Inzwischen sind alle Zahlen bis zur Größenordnung ${}10^{18}$ überprüft. Zum Beispiel ist (es gibt im Allgemeinen mehrere Darstellungen)

$4=2+2,\,6=3+3,\,8=3+5,\,10=5+5=3+7,\,12=5+7,\,14=3+11=7+7,\,16=3+13=5+11,\,etc.$

Doch solche rechnerischen Ergebnisse sagen letztlich nichts über die Gültigkeit der Goldbachschen Vermutung aus, bei der es ja nicht darum geht, für möglichst viele und große Zahlen zu zeigen, dass die Goldbacheigenschaft gilt, sondern für alle.

Grundsätzlich gibt es mehrere Möglichkeiten, wie diese Frage beantwortet werden könnte. Der einfachste Fall wäre, wenn man eine konkrete gerade Zahl ${}n\geq 4$ angibt und von dieser zeigt, dass sie nicht die Summe von zwei Primzahlen ist. Der Beweis dafür wäre dann eventuell sehr lang, man müsste alle möglichen Summanden überprüfen, aber ansonsten anspruchslos. Dann wäre die Goldbachvermutung falsch. Es ist auch denkbar, dass man zeigt, dass es eine Zahl geben muss, die die Goldbacheigenschaft nicht erfüllt, ohne eine solche konkret anzugeben. Dann wäre die Goldbachvermutung ebenfalls falsch, ein solcher Beweis könnte beliebig kompliziert sein. Oder man zeigt, das es für jede gerade Zahl ${}n\geq 4$ eine Summendarstellung mit zwei Primzahlen geben muss, wobei ein solcher Beweis wieder beliebig kompliziert sein könnte und die Goldbachsche Vermutung beweisen würde. Oder man zeigt sogar, wie man zu einem jeden ${}n$ ein Primzahlsummandenpaar explizit berechnen kann.

Mersenne-Primzahlen

Marin Mersenne (1588-1648)

Definition

Eine Primzahl der Form ${}2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.

Generell nennt man die Zahl ${}M_{n}=2^{n}-1$ die ${}n$-te Mersenne-Zahl. Mit dieser Bezeichnung sind die Mersenne-Primzahlen genau diejenigen Mersenne-Zahlen, die Primzahlen sind. Die Mersennezahl ${}M_{n}=2^{n}-1$ hat im Dualsystem eine Entwicklung, die aus genau ${}n$ Einsen besteht. Die ersten Mersenne-Primzahlen sind

$2^{2}-1=3,2^{3}-1=7,2^{5}-1=31,2^{7}-1=127.$

Die Zahl ${}2^{11}-1=2047=23\cdot 89$ ist die erste Mersenne-Zahl, wo der Exponent zwar prim (der Exponent einer Mersenne-Primzahl muss selbst eine Primzahl sein, siehe Fakt) ist, die aber selbst keine Mersenne-Primzahl ist. Dies wurde 1536 von Hudalrichus Regius (Walter Hermann Ryff) gezeigt. Der nächste Kandidat, nämlich ${}2^{13}-1=8191$, ist wieder prim. Bis ca. 1950 war bekannt, dass für die Exponenten

$2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107{\text{ und }}127$

Mersenne-Primzahlen vorliegen, und keine weiteren unterhalb dem Exponenten ${}258$. Von verschiedenen Leuten, unter anderem von Cataldi und Mersenne selbst, wurden falsche Behauptungen aufgestellt. Ab ca. 1950 kamen Computer zum Bestimmen von Mersenne-Primzahlen zum Einsatz, und es wurden bisher insgesamt ${}47$ Mersenne-Primzahlen gefunden. Alle größten bekannten Primzahlen sind Mersenne-Zahlen. Das liegt daran, dass es für diese Zahlen einen vergleichsweise einfachen Primzahltest gibt, nämlich den Lucas-Lehmer-Test. Mit diesem Test wird etwa alle zwei Jahre eine neue größte Primzahl gefunden. Eine Rekordliste findet sich unter Mersenne-Primzahlen auf Wikipedia.

Das Auffinden von großen (Mersenne)-Primzahlen, also der konkrete Nachweis, dass eine bestimmte Zahl diese Eigenschaft besitzt, ist aber etwas anderes als der Existenznachweis, dass es innerhalb oder oberhalb gewisser Schranken solche Zahlen gibt oder dass es überhaupt nur endlich oder unendlich viele solcher Zahlen gibt. Aufgrund des Satzes von Euklid weiß man, dass es jenseits jeder beliebig großen natürlichen Zahl noch Primzahlen gibt. Für Mersenne-Primzahlen ist das unbekannt.

Problem

Gibt es unendlich viele Mersenne-Primzahlen?

Wie gesagt, dies ist unbekannt, es wird aber vermutet, dass es unendlich viele gibt.

Sophie-Germain Primzahlen

Sophie Germain (1776 -1831)

Definition

Eine Primzahl ${}p$ mit der Eigenschaft, dass auch ${}2p+1$ eine Primzahl ist, heißt Sophie-Germain-Primzahl.

Beispiele sind ${}(2,5)$, ${}(3,7)$, ${}(5,11)$, ${}(11,23)$, ${}(23,47)$, ${}(29,59)$, etc. Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Sophie Germain Zahlen gibt.