Primzahlen/Produkt/Vielfache/Vollständig unabhängig/Aufgabe/Lösung

Sei ${}I\subseteq \{1,\ldots ,k\}$. Das Ereignis ${}\bigcap _{i\in I}E_{i}$ besteht aus allen Zahlen aus ${}M$, die gemeinsame Vielfache von den Primzahlen ${}p_{i}$, ${}i\in I$ sind. Da die Primzahlen zueinander teilerfremd sind, geht es um die Zahlen aus ${}M$, die Vielfache vom Produkt ${}\prod _{i\in I}p_{i}$ sind. Dies sind die Zahlen

${\left\{\prod _{i\in I}p_{i}\cdot \ell \mid \ell =1,2,\ldots ,\prod _{j\notin I}p_{j}\right\}},$

da ja

${}\prod _{i\in I}p_{i}\cdot \prod _{j\notin I}p_{j}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}=n\,$

das Maximum aus ${}M$ ergibt. Die Menge ${}\bigcap _{i\in I}E_{i}$ besteht also aus ${}\prod _{j\notin I}p_{j}$ Elementen und somit beträgt ihre Wahrscheinlichkeit

${}P{\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}={\frac {\prod _{j\notin I}p_{j}}{n}}={\frac {\prod _{j\notin I}p_{j}}{\prod _{i\in I}p_{i}\cdot \prod _{j\notin I}p_{j}}}={\frac {1}{\prod _{i\in I}p_{i}}}=\prod _{i\in I}{\frac {1}{p_{i}}}\,.$

Da das Argument insbesondere für einelementige Mengen ${}I$ gilt, ist

${}P(E_{i})={\frac {1}{p_{i}}}\,$

und somit ist

${}P{\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}=\prod _{i\in I}P(E_{i})\,,$

was die vollständige Unabhängigkeit bedeutet.

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