Primzahlen/Rest 1 mod 4/Unendlich/Aufgabe/Lösung

Wir ziehen Fakt heran, wonach eine ungerade Primzahl ${}p$ genau dann den Rest ${}1$ modulo ${}4$ besitzt, wenn ${}-1$ eine Quadratwurzel in ${}\mathbb {Z} /(p)$ ist. Nehmen wir an, dass es nur endlich viele Primzahlen ${}p_{1},\ldots ,p_{k}$ von diesem Typ gibt. Wir betrachten das Polynom

${}f(x)=x^{2}+1\,.$

Die Zahl

${}f(2p_{1}\cdots p_{k})=4(p_{1}\cdots p_{k})^{2}+1\,$

besitzt einen Primteiler ${}q$, der von allen ${}p_{i}$ und von ${}2$ verschieden ist. Es ist

${}f(2p_{1}\cdots p_{k})=0\mod q\,.$

Doch dies bedeutet, dass ${}f(x)$ eine Nullstelle modulo ${}q$ besitzt und somit ist ${}-1$ ein Quadrat modulo ${}q$, also hat ${}q$ den Rest ${}1$ modulo ${}4$.

Zur gelösten Aufgabe