Wir zeigen die Messbarkeit der ersten Funktion . Dabei reduzieren wir zuerst auf die Situation in der das Maß auf
endlich
ist. Nach Voraussetzung gibt es eine
abzählbare
messbare
Ausschöpfung
mit
.
Wir setzen
.
Dann ist und damit auch für jedes
.
Wenn wir für jedes
die Messbarkeit von gezeigt haben, so folgt sie wegen
Fakt
auch für . Wir können also annehmen, dass
ist.
Wir wollen zeigen, dass für jedes
die Funktion messbar ist. Wie setzen
-
und müssen zeigen, dass dies die gesamte Produkt--Algebra ist. Zunächst gehören die messbaren Quader zu . Es ist ja
-
und damit ist
-
messbar. Wir zeigen, dass ein
Dynkin-System
ist. Es ist
.
Seien
Teilmengen, die zu gehören. Dann ist
und
ist nach
Fakt
messbar. Für eine disjunkte abzählbare Vereinigung
ist
.
Wenn
für alle
ist, so ist die Funktion nach
Fakt
wieder messbar.
Damit ist insgesamt ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem aller Quader für die
-Algebra
enthält. Deshalb ist
nach
Fakt.