Produkthalbring/N^2/Komponentenweise/Integrität/Aufgabe/Kommentar

1. Die Eigenschaften der Addition und Multiplikation auf ${}\mathbb {N} ^{2}$ ergeben sich aus den entsprechenden Eigenschaften der Addition und Multiplikation auf ${}\mathbb {N}$. Zum Beispiel gilt das Distributivgesetz, da

${\begin{aligned}(a_{1},a_{2})\cdot ((b_{1},b_{2})+(c_{1},c_{2}))&=(a_{1},a_{2})\cdot (b_{1}+c_{1},b_{2}+c_{2})=(a_{1}\cdot (b_{1}+c_{1}),a_{2}\cdot (b_{2}+c_{2}))\\&=(a_{1}\cdot b_{1}+a_{1}\cdot c_{1},a_{2}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot c_{2})=(a_{1}\cdot b_{1},a_{2}\cdot b_{2})+(a_{1}\cdot c_{1},a_{2}\cdot c_{2})\\&=(a_{1},a_{2})\cdot (b_{1},b_{2})+(a_{1},a_{2})\cdot (c_{1},c_{2}).\end{aligned}}$

2. Man überlegt sich, was sind die neutralen Elemente der Addition und Multiplikation auf ${}\mathbb {N} ^{2}$? Was ist nun das Ergebnis der Multiplikation ${}(0,1)\cdot (1,0)$?

Zur kommentierten Aufgabe