Produktionsmatrix/1/Aufgabe/Lösung

a) Die Matrix ist

${\begin{pmatrix}11&8&7&12\\5&4&30&0\\3&6&1&15\end{pmatrix}},$

da in der ${}i$-ten Spalte die für das ${}i$-te Produkt benötigte Rohstoffmenge stehen muss.

b) Die benötigte Rohstoffmenge ist

${}{\begin{pmatrix}11&8&7&12\\5&4&30&0\\3&6&1&15\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}8\\5\\7\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}88+40+49+48\\40+20+210\\24+30+7+60\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}225\\270\\121\end{pmatrix}}\,.$

c) Es geht um das lineare Gleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}11&8&7&12\\5&4&30&0\\3&6&1&15\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}11x+8y+7z+12w\\5x+4y+30z\\3x+6y+z+15w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\15\\7\end{pmatrix}}\,,$

das wir zunächst ohne Berücksichtigung der Tatsache, dass nur nichtnegative Tupel sinnvoll interpretiert werden können. Wir ziehen vom ${}4$-fachen der dritten Zeile das ${}5$-fache der ersten Zeile ab und erhalten

${}{\begin{pmatrix}11x+8y+7z+12w\\5x+4y+30z\\-43x-16y-31z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\15\\-12\end{pmatrix}}\,.$

Jetzt addieren wir zur dritten Zeile das ${}4$-fache der zweiten Zeile hinzu und erhalten

${}{\begin{pmatrix}11x+8y+7z+12w\\5x+4y+30z\\-23x+89z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\15\\48\end{pmatrix}}\,.$

Mit

${}z=0\,$

erhalten wir die eindeutige Lösung

${}x=-{\frac {48}{23}}\,,$

${}y={\frac {15}{4}}+{\frac {5}{4}}\cdot {\frac {48}{23}}={\frac {585}{92}}\,$

und

${}w={\frac {2}{3}}-{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {585}{92}}+{\frac {11}{12}}\cdot {\frac {48}{23}}={\frac {184-1170+528}{276}}=-{\frac {458}{276}}=-{\frac {229}{138}}\,.$

Mit

${}x=0\,$

erhalten wir die eindeutige Lösung

${}z={\frac {48}{89}}\,,$

${}y={\frac {15}{4}}-{\frac {30}{4}}\cdot {\frac {48}{89}}=-{\frac {105}{356}}\,$

und

${}w={\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {105}{356}}-{\frac {7}{12}}\cdot {\frac {48}{89}}={\frac {712+210-336}{1068}}={\frac {586}{1068}}={\frac {291}{534}}\,.$

Alle Lösungen haben somit die Form

${\begin{pmatrix}0\\-{\frac {105}{356}}\\{\frac {48}{89}}\\{\frac {291}{534}}\end{pmatrix}}+s{\left({\begin{pmatrix}0\\-{\frac {105}{356}}\\{\frac {48}{89}}\\{\frac {291}{534}}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-{\frac {48}{23}}\\{\frac {585}{92}}\\0\\-{\frac {229}{138}}\end{pmatrix}}\right)}$

mit ${}s\in \mathbb {R}$. Wegen der ersten Zeile muss ${}s\geq 0$ sein. Dann ergibt die zweite Zeile aber einen negativen Wert und daher gibt es keine Lösung.

d) Vom Produkt ${}P_{2}$ kann man maximal eine Einheit produzieren, vom Produkt ${}P_{3}$ maximal eine halbe Einheit.

Zur gelösten Aufgabe