Produktmaß/Maß zu Belegungsfunktion/Aufgabe

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}})$ und ${}(N,{\mathcal {B}})$ Messräume und es sei ${}\mu$ das zur Belegungsfunktion

$b\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto b_{x},$

gehörige Maß auf ${}M$ und ${}\nu$ das zur Belegungsfunktion

$c\colon N\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,y\longmapsto c_{y},$

gehörige Maß auf ${}N$ (diese Maße seien als ${}\sigma$-endlich angenommen). Zeige, dass ${}\mu \otimes \nu$ das zur Belegungsfunktion

$M\times N\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq },\,(x,y)\longmapsto b_{x}c_{y},$

gehörige Maß auf ${}M\times N$ ist.

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