Produktmaß/Zählmaß auf zwei abzählbaren Mengen/Aufgabe/Lösung

a) Wenn ${}M$ leer ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow M$

surjektiv. Dann ist ${}M_{n}:=\{\varphi (0),\ldots ,\varphi (n)\}$ eine Ausschöpfung von ${}M$ mit endlichen Mengen, die daher endliches (Zähl-)maß besitzen.

b) Das Produktmaß auf ${}M\times N$ ist dadurch gekennzeichnet, dass es auf Quadern ${}S\times T$ zu Seiten ${}S$ und ${}T$ mit endlichem Maß das Produkt ${}\mu (S)\cdot \nu (T)$ als Wert besitzt. Für einen Punkt ${}P=(x,y)$ ist ${}\{P\}=\{x\}\times \{y\}$ und daher ist

${}\mu \otimes \nu (\{P\})=\mu (\{x\})\cdot \nu (\{y\})=1\cdot 1=1\,.$

Wegen der Abzählbarkeit von ${}M\times N$ ist dadurch das Produktmaß festgelegt und gleich dem Zählmaß auf der Produktmenge.

Zur gelösten Aufgabe