Produktmenge/Rationale Zahlen als Brüche/Beispiel

Häufig werden Paare nicht in der Form ${}(x,y)$ geschrieben, sondern in einer anderen Form, die aber ebenfalls die Position im Paar, also die Zugehörigkeit zu einer der beteiligten Mengen, ausdrücken muss. Betrachten wir z.B. die Produktmenge

$\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}$

und schreiben die Paare als ${}x/y$ oder als

${\frac {x}{y}}.$

Bei dieser Schreibweise soll der „Zähler“ (also das oberhalb des Striches) aus der ersten Menge ${}\mathbb {Z}$ sein und der „Nenner“ aus ${}\mathbb {N} _{+}$. Hier wird also ein Paar als ein formaler Bruch geschrieben. Man beachte aber, dass auf dieser Ebene keine Identifizierung zwischen den beiden Paaren ${}(3,2)$ und ${}(6,4)$ stattfindet, wie dies bei der inhaltlichen Interpretation als rationale Zahl geschieht. Es gibt aber eine (surjektive, nicht injektive) Abbildung

$\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {x}{y}}.$