Produktmenge/ZxZ/Addition und Subtraktion/Aufgabe/Lösung

1. Wir behaupten, dass die Abbildung injektiv ist. Seien ${}(a,b),(a',b')\in \mathbb {Z} ^{2}$ gegeben, die auf das gleiche Element abgebildet werden, also

   ${}(a+b,a-b)=(a'+b',a'-b')\,,$

   was

   ${}a+b=a'+b'\,$

   und

   ${}a-b=a'-b'\,$

   bedeutet. Durch Addition der beiden Gleichungen ergibt sich

   ${}2a=2a'\,$

   und daraus durch Kürzen

   ${}a=a'\,.$

   Aus der ersten Gleichung folgt dann auch

   ${}b=b'\,.$

2. Die Abbildung ist nicht surjektiv, da das Element ${}(1,0)$ nicht getroffen wird. Aus

   ${}(a+b,a-b)=(1,0)\,$

   folgt direkt

   ${}a=b\,$

   und daraus

   ${}2a=1\,,$

   was in ${}\mathbb {Z}$ nicht lösbar ist.

Zur gelösten Aufgabe